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Mathematics - Algebra - Quadratic Equation Formula Derivation - Step By Step 🔗

Overview 🔗


` ax^2 `	` + `	` bx `	` + `	` c `	` = `	` 0 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` = `	` 0 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` `	` `	` = `	` -c/a `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` `	` = `	` `	` (b^2 - 4ac)/((2a)^2) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` x `	` + `	` b/(2a) `	` `	` = `	` `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` x `	` `	` `	` `	` = `	` `	` (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Overview With Main Rules 🔗


` ax^2 `	` + `	` bx `	` + `	` c `	` = `	` 0 `	` `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` kx = ky `	` \| `	` k `	` larr `	` 1/a `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` = `	` 0 `	` `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` x + k = y + k `	` \| `	` k `	` larr `	` -c/a `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` `	` `	` = `	` -c/a `	` `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` x + k = y + k `	` \| `	` k `	` larr `	` (b/(2a))^2 `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` k^2 +2km + m^2 `	` => `	` (k + m)^2 `	` \| `	` k `	` larr `	` x `	` m larr b/(2a) `	` `	` `
` `	` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` k / m + p / r `	` => `	` (kr + p m) / (mr) `	` \| `	` k `	` larr `	` -c `	` m larr a `	` p larr b^2 `	` r larr (2a)^2 `
` `	` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` `	` = `	` `	` (b^2 - 4ac)/((2a)^2) `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` sqrt(x) = sqrt(y) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` x `	` + `	` b/(2a) `	` `	` = `	` `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` x + k = y + k `	` \| `	` k `	` larr `	` (-b/(2a)) `	` `	` `	` `
` `	` x `	` `	` `	` `	` = `	` `	` (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

First Step 🔗


` `	` ax^2 `	` + `	` bx `	` + `	` c `	` = `	` 0 `	` \| `	` x = y `	` => `	` kx = ky `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` 1/a `	` (ax^2 `	` + `	` bx `	` + `	` c) `	` = `	` (1/a)0 `	` \| `	` k(m + p) `	` => `	` km + kp `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (1/a)ax^2 `	` + `	` (1/a)bx `	` + `	` (1/a)c `	` = `	` (1/a)0 `	` \| `	` k * 0 `	` => `	` 0 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (1/a)ax^2 `	` + `	` (1/a)bx `	` + `	` (1/a)c `	` = `	` 0 `	` \| `	` (k / m)p `	` => `	` (kp)/m `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (1ax^2)/a `	` + `	` (1bx)/a `	` + `	` (1c)/a `	` = `	` 0 `	` \| `	` 1 * k `	` => `	` k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (ax^2)/a `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` = `	` 0 `	` \| `	` (kp)/m `	` => `	` (k / m)p `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` (a/a)x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` = `	` 0 `	` \| `	` k/k `	` => `	` 1 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` 1x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` = `	` 0 `	` \| `	` 1 * k `	` => `	` k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` `	` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` = `	` 0 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Next Step 🔗


` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` `	` `	` = `	` 0 `	` `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` x + k = y + k `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` c/a `	` + `	` (-c/a) `	` = `	` 0 `	` + `	` (-c/a) `	` \| `	` k + (-k) `	` => `	` 0 `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` `	` 0 `	` `	` = `	` 0 `	` + `	` (-c/a) `	` \| `	` k + 0 `	` => `	` k `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` `	` `	` `	` `	` = `	` `	` -c/a `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Next Step 🔗


` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` `	` `	` = `	` -c/a `	` `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` x + k = y + k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x^2 `	` + `	` (bx)/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Next Step 🔗


` `	` x^2 `	` + `	` `	` (bx)/a `	` `	` `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` k `	` => `	` 1 * k `	` `	` `	` `
` `	` x^2 `	` + `	` `	` 1((bx)/a) `	` `	` `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` 1 `	` => `	` k/k `	` `	` `	` `
` `	` x^2 `	` + `	` `	` (2/2)((bx)/a) `	` `	` `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` (k/m)(p/r) `	` => `	` (kp)/(mr) `	` `	` `	` `
` `	` x^2 `	` + `	` `	` (2bx)/(2a) `	` `	` `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` 2k `	` => `	` k+k `	` `	` `	` `
` `	` x^2 `	` + `	` `	` (bx+bx)/(2a) `	` `	` `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` (k + m)/p `	` => `	` k/p + m/p `	` `	` `	` `
` `	` x^2 `	` + `	` (bx)/(2a) `	` + `	` `	` (bx)/(2a) `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` (km)/p `	` => `	` k(m/p) `	` `	` `	` `
` `	` x*x `	` + `	` x(b/(2a)) `	` + `	` `	` (b/(2a))x `	` + `	` (b/(2a))(b/(2a)) `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` km + kp `	` => `	` k(m + p) `	` `	` `	` `
` x `	` (x `	` + `	` b/(2a)) `	` + `	` b/(2a) `	` (x `	` + `	` b/(2a)) `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` km + kp `	` => `	` k(m + p) `	` `	` `	` `
` (x `	` `	` `	` `	` + `	` b/(2a)) `	` (x `	` + `	` b/(2a)) `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` k * k `	` => `	` k^2 `	` `	` `	` `
` (x `	` `	` `	` `	` + `	` b/(2a))^2 `	` `	` `	` `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Next Step 🔗


` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b/(2a))^2 `	` \| `	` (k/m)^2 `	` => `	` (k^2)/(m^2) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` -c/a `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` k `	` => `	` 1 * k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` 1((-c)/a) `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` 1 `	` => `	` k/k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` (((2a)^2)/((2a)^2))((-c)/a) `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` (k/m)(p/r) `	` => `	` (k/r)(p/m) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` (((2a)^2)/a)((-c)/(2a)^2) `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` (km)^2 `	` => `	` k^2m^2 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` ((2^2a^2)/a)((-c)/(2a)^2) `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` k^2/k `	` => `	` k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` (4a(-c))/((2a)^2) `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` km `	` => `	` mk `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` (-4ac)/((2a)^2) `	` + `	` (b^2)/((2a)^2) `	` \| `	` k/m +p/m `	` => `	` (k+p)/m `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` `	` (-4ac+b^2)/((2a)^2) `	` `	` \| `	` k+m `	` => `	` m+k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` (x `	` + `	` b/(2a))^2 `	` = `	` `	` (b^2-4ac)/((2a)^2) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Next Step 🔗


` (x+b/(2a))^2 `	` = `	` (b^2 - 4ac)/((2a)^2) `	` \| `	` x = y `	` => `	` sqrt(x) = sqrt(y) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` sqrt((x+b/(2a))^2) `	` = `	` sqrt((b^2-4ac)/((2a)^2)) `	` \| `	` sqrt(x^2) `	` => `	` \|x\| `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` \|x+b/(2a)\| `	` = `	` sqrt((b^2-4ac)/((2a)^2)) `	` \| `	` \|x\| = y `	` => `	` x = +-y `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x+b/(2a) `	` = `	` +-sqrt((b^2-4ac)/((2a)^2)) `	` \| `	` sqrt(k/m) `	` => `	` sqrt(k)/sqrt(m) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x+b/(2a) `	` = `	` +-sqrt(b^2-4ac)/sqrt((2a)^2) `	` \| `	` sqrt(k^2) `	` => `	` k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x+b/(2a) `	` = `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

Last Step 🔗


` x `	` + `	` b/(2a) `	` `	` `	` = `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` `	` `	` \| `	` x = y `	` => `	` x + k = y + k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x `	` + `	` b/(2a) `	` + `	` (-b/(2a)) `	` = `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` + `	` (-b/(2a)) `	` \| `	` k + (-k) `	` => `	` 0 `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x `	` + `	` `	` 0 `	` `	` = `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` + `	` (-b/(2a)) `	` \| `	` k + 0 `	` => `	` k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x `	` `	` `	` `	` `	` = `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` + `	` (-b/(2a)) `	` \| `	` k + m `	` => `	` m + k `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x `	` `	` `	` `	` `	` = `	` -b/(2a) `	` + `	` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) `	` \| `	` k/m + p/m `	` => `	` (k + p)/m `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `
` x `	` `	` `	` `	` `	` = `	` `	` (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `	` `

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Updated on 2019 Jan 3.

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