Mathematics - Algebra - Quadratic Equation Formula Derivation - Step By Step

Overview

                                       
` ax^2 ` ` + ` ` bx ` ` + ` ` c ` ` = ` ` 0 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` = ` ` 0 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` ` ` ` ` = ` ` -c/a ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` ` ` = ` ` ` ` (b^2 - 4ac)/((2a)^2) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x ` ` + ` ` b/(2a) ` ` ` ` = ` ` ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Overview With Main Rules

                                       
` ax^2 ` ` + ` ` bx ` ` + ` ` c ` ` = ` ` 0 ` ` ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` kx = ky ` ` | ` ` k ` ` larr ` ` 1/a ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` = ` ` 0 ` ` ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` x + k = y + k ` ` | ` ` k ` ` larr ` ` -c/a ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` ` ` ` ` = ` ` -c/a ` ` ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` x + k = y + k ` ` | ` ` k ` ` larr ` ` (b/(2a))^2 ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` k^2 +2km + m^2 ` ` => ` ` (k + m)^2 ` ` | ` ` k ` ` larr ` ` x ` ` m larr b/(2a) ` ` ` ` `
` ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` k / m + p / r ` ` => ` ` (kr + p m) / (mr) ` ` | ` ` k ` ` larr ` ` -c ` ` m larr a ` ` p larr b^2 ` ` r larr (2a)^2 `
` ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` ` ` = ` ` ` ` (b^2 - 4ac)/((2a)^2) ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` sqrt(x) = sqrt(y) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x ` ` + ` ` b/(2a) ` ` ` ` = ` ` ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` x + k = y + k ` ` | ` ` k ` ` larr ` ` (-b/(2a)) ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

First Step

                                       
` ` ` ax^2 ` ` + ` ` bx ` ` + ` ` c ` ` = ` ` 0 ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` kx = ky ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` 1/a ` ` (ax^2 ` ` + ` ` bx ` ` + ` ` c) ` ` = ` ` (1/a)0 ` ` | ` ` k(m + p) ` ` => ` ` km + kp ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (1/a)ax^2 ` ` + ` ` (1/a)bx ` ` + ` ` (1/a)c ` ` = ` ` (1/a)0 ` ` | ` ` k * 0 ` ` => ` ` 0 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (1/a)ax^2 ` ` + ` ` (1/a)bx ` ` + ` ` (1/a)c ` ` = ` ` 0 ` ` | ` ` (k / m)p ` ` => ` ` (kp)/m ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (1ax^2)/a ` ` + ` ` (1bx)/a ` ` + ` ` (1c)/a ` ` = ` ` 0 ` ` | ` ` 1 * k ` ` => ` ` k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (ax^2)/a ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` = ` ` 0 ` ` | ` ` (kp)/m ` ` => ` ` (k / m)p ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` (a/a)x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` = ` ` 0 ` ` | ` ` k/k ` ` => ` ` 1 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` 1x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` = ` ` 0 ` ` | ` ` 1 * k ` ` => ` ` k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` = ` ` 0 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Next Step

                                       
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` ` ` ` ` = ` ` 0 ` ` ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` x + k = y + k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` c/a ` ` + ` ` (-c/a) ` ` = ` ` 0 ` ` + ` ` (-c/a) ` ` | ` ` k + (-k) ` ` => ` ` 0 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` ` ` 0 ` ` ` ` = ` ` 0 ` ` + ` ` (-c/a) ` ` | ` ` k + 0 ` ` => ` ` k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` -c/a ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Next Step

                                       
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` ` ` ` ` = ` ` -c/a ` ` ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` x + k = y + k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x^2 ` ` + ` ` (bx)/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Next Step

                                       
` ` ` x^2 ` ` + ` ` ` ` (bx)/a ` ` ` ` ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` k ` ` => ` ` 1 * k ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x^2 ` ` + ` ` ` ` 1((bx)/a) ` ` ` ` ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` 1 ` ` => ` ` k/k ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x^2 ` ` + ` ` ` ` (2/2)((bx)/a) ` ` ` ` ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` (k/m)(p/r) ` ` => ` ` (kp)/(mr) ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x^2 ` ` + ` ` ` ` (2bx)/(2a) ` ` ` ` ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` 2k ` ` => ` ` k+k ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x^2 ` ` + ` ` ` ` (bx+bx)/(2a) ` ` ` ` ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` (k + m)/p ` ` => ` ` k/p + m/p ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x^2 ` ` + ` ` (bx)/(2a) ` ` + ` ` ` ` (bx)/(2a) ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` (km)/p ` ` => ` ` k(m/p) ` ` ` ` ` ` `
` ` ` x*x ` ` + ` ` x(b/(2a)) ` ` + ` ` ` ` (b/(2a))x ` ` + ` ` (b/(2a))(b/(2a)) ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` km + kp ` ` => ` ` k(m + p) ` ` ` ` ` ` `
` x ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a)) ` ` + ` ` b/(2a) ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a)) ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` km + kp ` ` => ` ` k(m + p) ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` ` ` ` ` ` ` + ` ` b/(2a)) ` ` (x ` ` + ` ` b/(2a)) ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` k * k ` ` => ` ` k^2 ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` ` ` ` ` ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Next Step

                                       
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b/(2a))^2 ` ` | ` ` (k/m)^2 ` ` => ` ` (k^2)/(m^2) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` -c/a ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` k ` ` => ` ` 1 * k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` 1((-c)/a) ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` 1 ` ` => ` ` k/k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` (((2a)^2)/((2a)^2))((-c)/a) ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` (k/m)(p/r) ` ` => ` ` (k/r)(p/m) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` (((2a)^2)/a)((-c)/(2a)^2) ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` (km)^2 ` ` => ` ` k^2m^2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` ((2^2a^2)/a)((-c)/(2a)^2) ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` k^2/k ` ` => ` ` k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` (4a(-c))/((2a)^2) ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` km ` ` => ` ` mk ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` (-4ac)/((2a)^2) ` ` + ` ` (b^2)/((2a)^2) ` ` | ` ` k/m +p/m ` ` => ` ` (k+p)/m ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` ` ` (-4ac+b^2)/((2a)^2) ` ` ` ` | ` ` k+m ` ` => ` ` m+k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` (x ` ` + ` ` b/(2a))^2 ` ` = ` ` ` ` (b^2-4ac)/((2a)^2) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Next Step

                                       
` (x+b/(2a))^2 ` ` = ` ` (b^2 - 4ac)/((2a)^2) ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` sqrt(x) = sqrt(y) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` sqrt((x+b/(2a))^2) ` ` = ` ` sqrt((b^2-4ac)/((2a)^2)) ` ` | ` ` sqrt(x^2) ` ` => ` ` |x| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` |x+b/(2a)| ` ` = ` ` sqrt((b^2-4ac)/((2a)^2)) ` ` | ` ` |x| = y ` ` => ` ` x = +-y ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x+b/(2a) ` ` = ` ` +-sqrt((b^2-4ac)/((2a)^2)) ` ` | ` ` sqrt(k/m) ` ` => ` ` sqrt(k)/sqrt(m) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x+b/(2a) ` ` = ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/sqrt((2a)^2) ` ` | ` ` sqrt(k^2) ` ` => ` ` k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x+b/(2a) ` ` = ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

Last Step

                                       
` x ` ` + ` ` b/(2a) ` ` ` ` ` ` = ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` ` ` ` ` | ` ` x = y ` ` => ` ` x + k = y + k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x ` ` + ` ` b/(2a) ` ` + ` ` (-b/(2a)) ` ` = ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` + ` ` (-b/(2a)) ` ` | ` ` k + (-k) ` ` => ` ` 0 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x ` ` + ` ` ` ` 0 ` ` ` ` = ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` + ` ` (-b/(2a)) ` ` | ` ` k + 0 ` ` => ` ` k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` + ` ` (-b/(2a)) ` ` | ` ` k + m ` ` => ` ` m + k ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` -b/(2a) ` ` + ` ` +-sqrt(b^2-4ac)/(2a) ` ` | ` ` k/m + p/m ` ` => ` ` (k + p)/m ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` x ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
                                       

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