🧠 맥스 다마(Max Dama)의 자동화 트레이딩 - 브레인 티저 (개정 증보판) 🔗

이 글은 맥스 다마(Max Dama)의 자동화 트레이딩(On Automated Trading) 노트에 수록된 퀀트 면접 주제에서 영감을 받아 새롭게 오류를 바로잡고 확장한 학습 가이드입니다. 기존에 돌아다니던 노트의 몇 가지 수학적 오류를 수정하고, 생략되었던 유도 과정을 완전히 풀어서 작성했으며, 모든 문제를 명확하고 독립적인 형태로 재구성했습니다.

📑 목차 🔗

📈 마켓 메이킹과 베팅 (Market Making and Betting) 🔗

Q: 주머니 안에 100개의 동전이 들어 있습니다. 98개는 공정한 동전(앞면 50%, 뒷면 50%)이고, 1개는 양면이 모두 앞면인 동전(HH), 1개는 양면이 모두 뒷면인 동전(TT)입니다. 무작위로 동전 하나를 뽑아 한 번 던졌더니 앞면(Heads)이 나왔습니다. 뽑은 동전이 양면 모두 앞면인 동전(HH)일 사후 확률(posterior probability)은 얼마입니까?

답변: 베이즈 정리를 적용합니다. 100개의 동전 중 98개는 $0.5$의 확률로 앞면이 나오고, 1개는 $1$의 확률로 앞면이 나오며, 1개는 $0$의 확률로 앞면이 나옵니다. 앞면이 관찰된 사건을 $H$, 양면이 앞면인 동전을 선택한 사건을 $HH$라고 하면 다음과 같습니다.

직관적으로 생각해 보면, 주머니 안에는 동일한 확률로 나타날 수 있는 동전의 면이 총 200개 있으며, 그중 정확히 100개가 앞면이고, 이 100개 중 2개가 양면이 모두 앞면인 동전에 속하므로 확률은 **$2\%$**가 됩니다.

Q: 공정한 동전 10,000개를 던진다고 가정해 봅시다(앞면은 1점, 뒷면은 0점). 앞면의 총개수가 정확히 5,000개 미만일 것이라는 조건에 1대1 배당(even-money) 내기가 제안되었으며, $1에서 $100 사이의 정수 달러 금액을 걸 수 있습니다. 얼마를 걸어야 할까요? 만약 앞면의 총개수가 5,100개 미만이라는 사실을 사전에 알게 된다면 최적의 베팅 금액은 어떻게 달라질까요?

답변: 먼저 정확히 중간값인 앞면 5,000개가 나올 확률을 계산합니다.

이항 분포의 대칭성에 의해 앞면이 5,000개 미만으로 나올 확률은 다음과 같습니다.

1대1 배당에서 승리 확률이 50% 미만이므로 이 내기의 기댓값은 음수입니다. 따라서 $0를 걸어야 합니다.

$X < 5100$이라는 사전 정보가 주어진 경우: 표준편차가 $\sigma = \sqrt{10000 \cdot 0.25} = 50$이므로, 5,100이라는 기준점은 평균보다 $+2 \sigma$ 위에 위치하며 누적 확률은 $P(X < 5100) \approx 97.7\%$입니다. $X < 5100$이라는 조건이 주어졌을 때 $X < 5000$ 내기에서 이길 갱신된 조건부 확률은 다음과 같습니다.

이제 양(+)의 우위(edge)가 생겼습니다. 켈리 공식(1대1 배당 내기의 경우 $f^* = 2p - 1$)을 적용하면 다음과 같습니다.

따라서 **전체 자금(bankroll)의 1.52%**를 걸어야 합니다.

(참고: 만약 내기 자체가 $X < 5100$일 때 승리하는 조건이라면 승리 확률은 $97.7\%$이고, 켈리 비율은 자금의 $2(0.977) - 1 = 95.4\%$가 됩니다).

Q: 공정한 육면체 주사위를 반복해서 굴려 나오는 눈의 합을 누적하다가, 누적 합계가 63을 초과하는 즉시 멈춥니다. 마지막에서 두 번째(penultimate)로 굴린 주사위의 눈이 특정 값 $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$이었을 확률은 얼마입니까?

답변: 확률은 1부터 6까지 모든 값에 대해 균등하게 **$1/6$**입니다. 누적 합에 대한 마르코프 체인은 63에 도달하기 훨씬 전에 나머지 값(residues)들에 대해 거의 균등한 정상 분포(stationary distribution)에 도달하며, 마지막에서 두 번째 주사위는 멈추는 조건이 걸린 마지막 주사위를 굴리기 전에 완료되므로 각 눈이 나올 확률은 여전히 동일하게 $1/6$입니다.

Q: $2, $4, $8, $16, $32, $64가 들어 있는 봉인된 봉투 6개가 동일한 확률로 오름차순 또는 내림차순으로 엄격하게 정렬되어 일렬로 놓여 있습니다. 인접한 두 봉투를 골라 섞은 뒤 당신과 거래 상대방에게 하나씩 나누어 주었습니다. 당신이 봉투를 열어보니 $16가 들어 있습니다. 상대방에게 봉투를 바꾸자고 제안해야 할까요?

답변: 당신이 $16 봉투를 쥐게 되는 동일한 확률의 네 가지 경우(오름차순에서 두 가지, 내림차순에서 두 가지)를 생각해 봅시다.

1. ($8, $16) 쌍, 오름차순 → 교환 시 $8 획득 ($8 손실).
2. ($16, $32) 쌍, 오름차순 → 교환 시 $32 획득 ($16 이득).
3. ($32, $16) 쌍, 내림차순 → 교환 시 $32 획득 ($16 이득).
4. ($16, $8) 쌍, 내림차순 → 교환 시 $8 획득 ($8 손실).

두 명의 합리적인 플레이어가 참여하는 거래 게임(역선택 / 거래 불가 정리, Adverse Selection / No-Trade Theorem)에서, 상대방 역시 교환을 수락하기 전에 자신의 봉투 안을 확인한다면 상대방은 $32를 쥐고 있을 때는 절대 수락하지 않고 $8를 쥐고 있을 때만 항상 수락할 것입니다! 따라서 상호 동의하에 이루어지는 선택적 거래의 기댓값은 음수입니다(상대방이 $8를 가졌을 때만 거래가 체결되기 때문입니다). 만약 상대방의 동의 없이 일방적으로(강제로) 교환할 수 있다면, $16는 양 끝값이 아닌 내부 값이므로 교환 시 기댓값은 $0.5(8) + 0.5(32) = 20 > 16$이 되어 유리합니다.

Q: 한 확률 분포에서 무작위 개수 $N$을 뽑은 다음, ($N$과 독립적인) 두 번째 분포에서 독립항등분포(i.i.d.) 표본 $X_1, X_2, \dots, X_N$을 뽑는다고 가정합시다. 이들의 합에 대한 공정 가치(fair value)는 어떻게 책정합니까?

답변: **발트 항등식(Wald’s Identity)**에 의해, $N$이 $X_i$ 수열과 독립일 때 무작위 합의 기댓값은 단순히 두 기댓값의 곱과 같습니다.

Q: 앞면이 나오면 $+x$를 받고 뒷면이 나오면 $-y$를 잃는($x > y > 0$) 공정한 동전 던지기에서 로그 효용(log-utility)을 극대화하는 최적의 자금 베팅 비율을 유도하세요.

답변: 위험에 노출된 단위 금액당 순배당률이 $b = x/y$이고 승리 확률이 $p = 0.5$인 켈리 공식을 사용합니다.

이 비율은 손실 $y$에 비례하여 조정된 값입니다. 즉, 뒷면이 나왔을 때 전체 자본 중 실제 손실에 노출되는 비율이 $(x - y) / (2x)$입니다.

Q: 25개 팩터(factor)를 사용하는 퀀트 트레이딩 모델과 100개 팩터를 사용하는 모델 사이에서 리서치 및 리스크 관리 접근법은 어떻게 달라집니까? 만약 100개 팩터 모델이 백테스트에서 25% 더 높은 성과를 보인다면 실제 배포 여부를 어떻게 평가하시겠습니까?

답변: 25개 팩터에서 100개 팩터로 늘리면 자유도(degrees of freedom)와 표본 내 과적합(in-sample overfitting) 위험(차원의 저주)이 급격히 증가합니다. 특성(feature) 수가 4배로 늘어났는데 백테스트 수익률이나 샤프 지수가 25% 개선된 것은 진정한 표본 외(out-of-sample) 시그널이라기보다는 과거 데이터의 노이즈에 맞춰진 결과일 가능성이 매우 높습니다. 이를 엄밀하게 평가하는 방법은 다음과 같습니다.

1. 다중공선성 및 차원 축소(PCA): 팩터 상관관계 행렬과 고윳값 스펙트럼(eigenvalue spectrum)을 검사하여 추가된 75개의 팩터가 실제로 몇 개의 직교(orthogonal) 리스크/알파 차원을 형성하는지 확인합니다.
2. 정규화 및 정보 기준: $L_1$(Lasso) 또는 엘라스틱 넷(Elastic Net) 정규화를 적용하고, 패널티가 부여된 모델 선택 지표(AIC, BIC 또는 교차 검증 로그 우도)를 비교하여 추가된 파라미터가 복잡도 패널티를 정당화하는지 확인합니다.
3. 엄격한 표본 외(Out-of-Sample) 및 워크포워드(Walk-Forward) 검증: 전혀 건드리지 않은 홀드아웃 기간에 대해 성과 저하 여부를 테스트하고 회전율(turnover)과 거래 비용으로 인한 손실을 측정합니다.

Q: 어떤 자산이 가격 $p$에서 시작하여 $x\%$ 상승한 뒤 이어서 $x\%$ 하락했습니다($x > 0$). 최종 가격은 초기 가격 $p$와 비교해 어떻습니까?

답변: 최종 가격은 무조건 $p$보다 작습니다(이를 변동성 드래그, volatility drag라고 합니다). 하락 비율이 상승 후 커진 기준 가격인 $p(1+x)$에 적용되기 때문입니다.

Q: $100의 자금으로 시작하여 앞면이 나올 확률이 90%인 편향된 동전에 대해 100번의 연속 베팅 기회를 얻었습니다. $x$달러를 걸면 뒷면이 나올 때 $x$를 잃고 앞면이 나올 때 $2x$를 돌려받습니다. 매번 자금의 몇 퍼센트를 걸어야 합니까?

답변: 최적의 비율은 “$2x$를 돌려받는다"는 표현이 $2x$의 순이익(2대1 배당, $b = 2$)을 의미하는지, 아니면 원금을 포함한 $2x$의 총지급액(순이익 $x$, 1대1 배당, $b = 1$)을 의미하는지에 따라 달라집니다.

• 경우 1 (순이익 $+2x$, $b = 2$): $$f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} = \frac{0.9(3) - 1}{2} = 85\%$$
• 경우 2 (총지급액 $2x$, 순이익 $+x$, $b = 1$): $$f^* = 2p - 1 = 2(0.9) - 1 = 80\%$$

Q: 뉴욕시에 있는 맨홀 뚜껑의 총개수에 대해 양방향 시장(매수/매도 호가, Bid/Ask)을 제시해 보세요.

답변: 도로 총연장 길이를 바탕으로 페르미 추정(Fermi estimate)을 구성합니다. 뉴욕시에는 약 850만 명의 거주자와 약 6,000마일의 포장도로가 있습니다. 지하 시설물 접근용 맨홀 뚜껑(하수도, 상수도, 전기, 통신)은 시내 도로를 따라 대략 100피트마다 하나씩 나타나며, 이는 마일당 약 $5,280 / 100 \approx 52$개의 뚜껑에 해당합니다. $6{,}000\text{마일} \times 52\text{개/마일} \approx 312{,}000\text{개}$입니다. 추정 분산을 고려할 때 합리적인 초기 시장은 매수 호가(Bid) 200,000 / 매도 호가(Ask) 450,000입니다.

🎲 확률 (Probability) 🔗

Q: 공정한 동전을 1,000번 던졌을 때 정확히 500번 앞면이 나올 확률을 암산을 사용해 오차 5% 이내로 추정하세요.

답변: 스털링 근사(Stirling’s approximation) $n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$을 적용합니다.

$500 \pi \approx 1570$이고 $40^2 = 1600$이므로, $\sqrt{1570} \approx 39.6 \approx 40$입니다. 따라서 $P \approx 1/40 = 2.5\%$입니다(정확한 값은 $2.523\%$입니다).

Q: 강한 상대 A와 약한 상대 B, 두 명의 상대를 대상으로 진행되는 3판 테니스 챌린지를 통과하려면 두 판을 연속으로 이겨야 합니다. 대진 일정으로 A-B-A와 B-A-B 중 어느 것을 선택해야 할까요?

답변: A와 B를 상대로 한 단일 경기 승리 확률을 각각 $P_a$, $P_b$라고 합시다($P_a < P_b$). 세 판 중 두 판을 연속으로 이기려면 반드시 가운데 경기(2차전)를 이기고 양 끝 경기(1차전 또는 3차전) 중 적어도 한 판을 이겨야 합니다.

• A-B-A 일정: $P(\text{Win}) = P_b \cdot (1 - (1-P_a)^2) = P_b (2P_a - P_a^2) = 2 P_a P_b - P_a^2 P_b$
• B-A-B 일정: $P(\text{Win}) = P_a \cdot (1 - (1-P_b)^2) = P_a (2P_b - P_b^2) = 2 P_a P_b - P_a P_b^2$

$P_a < P_b$이므로 $P_a^2 P_b < P_a P_b^2$가 성립하며, 따라서 A-B-A가 무조건 더 유리합니다! (교정 참고: 직관적으로는 흔히 약한 상대 B와 두 번 싸우는 B-A-B가 유리할 것 같지만, 반드시 이겨야만 하는 가운데 경기에서 강한 상대 A를 만나면 $2P_a P_b - P_a^2 P_b > 2P_a P_b - P_a P_b^2$이므로 전체 승리 확률이 오히려 낮아집니다. A-B-A를 선택해야 가장 중요한 가운데 경기에서 약한 상대 B를 만나 승리할 확률을 극대화할 수 있습니다!)

Q: 두 플레이어가 번갈아 가며 공정한 육면체 주사위를 굴립니다. 플레이어 1이 먼저 굴려 1이 나오면 즉시 승리하고, 그렇지 않으면 플레이어 2가 굴려 6이 나오면 즉시 승리하며, 그렇지 않으면 다시 플레이어 1에게 차례가 돌아가는 식으로 진행됩니다. 각 플레이어의 승리 확률을 구하세요.

답변: 라운드 시작 시점에서 플레이어 1이 승리할 확률을 $E$라고 합시다.

플레이어 2의 승리 확률은 $1 - 6/11 = 5/11 \approx 45.45\%$입니다.

Q: 표준 52장 카드 덱(빨간색 26장, 검은색 26장)에서 카드를 한 번에 한 장씩 뒤집습니다. 덱이 바닥나기 전 원하는 시점에 언제든 “스톱"을 외치고 바로 다음 카드의 색깔에 내기를 걸 수 있습니다(빨간색이면 +$1, 검은색이면 -$1). 최적의 정지 규칙(optimal stopping rule)을 따를 때 이 게임에 참가하기 위한 공정 가격은 얼마입니까?

답변: $0입니다. $t$번째 단계에서 덱에 남아 있는 빨간색 카드의 비율은 **마팅게일(martingale)**을 형성합니다. 둡의 선택적 정지 정리(Doob’s Optional Stopping Theorem)에 의해 유계 정지 시간(bounded stopping time) $\tau$에 대해 시점 $\tau$에서의 빨간색 카드의 기대 비율은 초기 비율($26/52 = 0.5$)과 동일하므로, 어떠한 카드 카운팅 전략으로도 양(+)의 기대 수익을 얻을 수 없습니다.

Q: 희귀 질환(일반 인구에서의 유병률 0.5%)에 대한 의학 선별 검사의 민감도(진양성률)가 99%이고 특이도(진음성률)가 99%입니다. 무작위로 검사받은 사람이 양성 판정을 받았다면 실제로 이 질환을 가지고 있을 확률은 얼마입니까?

답변: 베이즈 정리에 의해 다음과 같이 계산됩니다.

기저율(base rate, $0.5\%$)이 위양성률(false-positive rate, $1\%$)보다 낮기 때문에, 양성 판정의 약 3분의 2는 거짓 양성(오진)입니다.

Q: 접시 위에 팬케이크 세 장이 쌓여 있습니다. 하나는 양면이 모두 노릇하게 구워졌고, 하나는 한쪽 면만 노릇하고 다른 쪽은 하얗며, 나머지 하나는 양면이 모두 하얗습니다. 무작위로 고른 팬케이크의 윗면을 보았더니 노릇하게 구워져 있었습니다. 이 팬케이크의 아랫면도 노릇하게 구워져 있을 확률은 얼마입니까?

답변: 팬케이크의 개수가 아니라 동일한 확률로 선택되는 *면(face)*의 개수를 세어 봅시다. 총 6개의 팬케이크 면이 있고 그중 3개가 노릇하게 구워진 면입니다. 이 3개의 노릇한 면 중 2개는 양면 모두 구워진 팬케이크에 속해 있으며(즉, 반대쪽 면도 노릇함), 따라서 확률은 **$2/3 \approx 66.7\%$**입니다.

Q: 공정한 육면체 주사위를 반복해서 굴릴 때 다음을 관찰하기까지 필요한 주사위 굴림 횟수의 기댓값을 구하세요. (a) 6이 한 번 나올 때까지, (b) 6이 두 번 연속(6-6) 나올 때까지, (c) 6 다음에 바로 5(6-5)가 나올 때까지.

답변:

• (a) 첫 번째 6 ($E_6$):

  $$E_6 = 1 + \frac{5}{6} E_6 \implies E_6 = 6$$

• (b) 연속된 6-6 ($E_{66}$): 방금 6이 한 번 나온 직후 남은 굴림 횟수의 기댓값을 $F$라고 합시다.

  $$E_{66} = 1 + \frac{1}{6} F + \frac{5}{6} E_{66}$$
  $$F = 1 + \frac{5}{6} E_{66}$$

  연립하여 풀면 **$E_{66} = 42$**회가 나옵니다(6 이외의 어떤 눈이든 나오면 처음 상태로 완전히 초기화되기 때문입니다).

• (c) 연속된 6-5 ($E_{65}$): 6이 나온 직후 남은 굴림 횟수의 기댓값을 $F_6$이라고 합시다.

  $$E_{65} = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{5}{6} E_{65}$$
  $$F_6 = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{4}{6} E_{65}$$

  (6이 나온 상태에서 다시 6이 나오면 처음부터 초기화되는 것이 아니라 여전히 $F_6$ 상태를 유지하기 때문입니다!) 연립하여 풀면 **$E_{65} = 36$**회가 나옵니다.

Q: 공정한 육면체 주사위를 굴려 최종적으로 나온 눈의 숫자만큼 달러 상금을 받습니다. 첫 번째 굴림 이후 최대 두 번까지 추가로 다시 굴릴 수 있으며(총 최대 3번 굴림), 다시 굴릴 때마다 이전 결과는 포기해야 합니다. 이 게임의 공정 가치는 얼마입니까?

답변: 역진 귀납법(backward induction)으로 풉니다.

• 남은 굴림 기회 1번: 기대 상금은 $E_1 = 3.5$입니다.
• 남은 굴림 기회 2번: 4, 5, 6이 나오면($3.5$보다 크므로) 유지하고 1, 2, 3이 나오면 다시 굴립니다. $$E_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4+5+6}{3} + \frac{1}{2} \cdot (3.5) = 2.5 + 1.75 = 4.25$$
• 남은 굴림 기회 3번: 5나 6이 나오면($4.25$보다 크므로) 유지하고 1, 2, 3, 4가 나오면 다시 굴립니다. $$E_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5+6}{2} + \frac{2}{3} \cdot (4.25) = 1.833 + 2.833 = 4.667$$

이 게임의 공정 가치는 $4.67($14/3$달러)입니다.

Q: 두 플레이어가 번갈아 공정한 동전을 던져 먼저 앞면이 나오는 사람이 $1를 가져갑니다. 두 번째 순서 대신 첫 번째 순서로 시작하기 위해 최대 얼마까지 지불할 용의가 있습니까?

답변: 첫 번째 플레이어의 기대 보상을 $E$라고 합시다.

두 번째 플레이어의 기대 보상은 $1 - 2/3 = 1/3$이므로, 먼저 시작하는 것의 이점은 $2/3 - 1/3 = 1/3$, 즉 $0.33입니다.

Q: 공정한 동전 4개와 양면이 모두 앞면인 동전 1개로 구성된 총 5개의 동전 중에서 무작위로 하나를 골라 5번 던졌더니 5번 연속 앞면이 나왔습니다. 선택한 동전이 양면 모두 앞면인 동전일 확률은 얼마입니까?

답변: 베이즈 정리에 의해 다음과 같이 계산됩니다.

🧮 암산 (Mental Math) 🔗

빠른 암산 벤치마크:

• $7^3 = 49 \cdot 7 = (50 - 1) \cdot 7 = 350 - 7 =$ 343
• $165$의 $15\% = 10\%(165) + 5\%(165) = 16.5 + 8.25 =$ 24.75
• $1,000,000 - 1,011 =$ 998,989
• $123$의 $54\% = 50\%(123) + 4\%(123) = 61.5 + 4.92 =$ 66.42
• $55^2 = (50 \cdot 60) + 5^2 = 3000 + 25 =$ 3,025

🧩 수학과 논리 (Math and Logic) 🔗

Q: 수영 선수가 반지름이 $r$인 원형 호수의 정중앙에 있고, 호숫가에 있는 포식자는 수영 선수의 최대 수영 속도보다 두 배 빠른 속도($2v$ 대 $v$)로 둘레를 따라 달릴 수 있습니다. 포식자가 항상 호숫가를 따라 수영 선수에게 가장 가까운 지점을 향해 이동한다고 가정할 때, 수영 선수는 포식자가 도착하기 전에 육지에 닿을 수 있을까요?

답변: 예, 가능합니다. 수영 선수가 단순히 포식자의 출발 위치 정반대 방향으로 일직선(반지름 방향)으로 헤엄쳐 가기만 해도, 수영 선수는 거리 $r$만 이동하면 되지만(소요 시간 $r / v$), 포식자는 원주 절반인 $\pi r$만큼 달려야 합니다(소요 시간 $(\pi r) / (2v)$). $\pi / 2 \approx 1.57 > 1$이므로 수영 선수가 포식자보다 훨씬 먼저 물가에 도착합니다.

Q: 아날로그 시계의 시침과 분침이 자정 12:00에 정확히 겹칩니다. 그다음으로 두 바늘이 정확히 겹치는 시각은 언제입니까?

답변: 분침은 시간당 $360^\circ$를 회전하고 시침은 시간당 $30^\circ$를 회전하므로 상대 각속도는 시간당 $330^\circ$입니다. 분침이 시침을 한 바퀴($360^\circ$) 완전히 따라잡을 때 두 바늘이 다시 겹치게 됩니다.

• $t = \frac{360}{330} = \frac{12}{11}\text{시간} = 1\text{시간과 }\frac{1}{11}\text{시간}$
• $\frac{1}{11} \times 60\text{분} = 5.4545\dots\text{분}$
• $0.4545\dots \times 60\text{초} = 27.27\dots\text{초}$

따라서 다음에 겹치는 시각은 오전 1시 05분 27.27초입니다.

Q: 세 명의 결투사 A(명중률 100%), B(명중률 66%), C(명중률 33%)가 가장 명중률이 낮은 C부터 시작해 B, A 순서로 돌아가며 한 명만 살아남을 때까지 총을 쏩니다. C의 첫 번째 최적 행동은 무엇입니까?

답변: C는 첫 번째 턴에 의도적으로 빗맞혀야(바닥이나 허공에 발사) 합니다.

• 만약 C가 B를 쏴서 제거하면, 명중률이 100%인 A가 바로 다음 턴에 C를 확실하게 제거합니다.
• 만약 C가 A를 쏴서 제거하면, B가 다음 턴에 C를 쏘게 되어 66% 확률로 C가 제거됩니다.
• 만약 C가 허공에 쏘아 넘기면, B는 반드시 A를 표적으로 삼아야 합니다(A를 살려두면 100% 치명적인 위협이 되기 때문입니다). 그 교전에서 A와 B 중 누가 살아남든 간에, 이어지는 1대1 결투에서 C가 무조건 선공권을 얻게 되므로 C의 생존 확률이 극대화됩니다.

Q: 무한 지수 탑 $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$를 만족하는 양의 실수 $x$를 구하세요.

답변: 무한 지수 탑이 2로 수렴하므로, 밑 $x$ 위에 있는 지수 탑 전체를 2로 치환하면 다음을 얻습니다.

Q: 중첩 근호 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$의 값을 구하세요.

답변: 중첩 근호의 극한값을 $x > 0$라고 합시다.

$x > 0$이므로 구하는 값은 **$x = 2$**입니다.

Q: 길이가 1인 막대기를 독립적이고 균등한 확률로 무작위로 선택한 두 지점에서 부러뜨립니다. 만들어진 세 조각으로 삼각형을 만들 수 있을 확률은 얼마입니까?

답변: 25% ($1/4$)입니다. 삼각부등식에 의해 총길이가 1인 세 선분이 삼각형을 이루기 위한 필요충분조건은 각 선분의 길이가 엄격하게 $1/2$ 미만인 것입니다. 균등하게 선택된 두 절단점 $(u, v) \in [0, 1]^2$을 좌표평면에 나타내면, $\min(u,v) < 1/2$, $1 - \max(u,v) < 1/2$, $|u - v| < 1/2$를 모두 만족하는 영역은 넓이가 각각 $1/8$인 두 개의 삼각형으로 구성되며, 따라서 전체 확률은 $2 \cdot (1/8) = 1/4 = 25\%$가 됩니다.

Q: 원 둘레 위에서 세 점을 독립적이고 균등한 확률로 무작위로 선택합니다. 세 점이 모두 어떤 하나의 반원 안에 놓일 확률은 얼마입니까?

답변: 75% ($3/4$)입니다. 일반적으로 원 위의 독립적이고 균등한 $n$개의 점에 대해, 각 점은 그 점에서 시작하여 시계 방향으로 이어지는 길이 $1/2$짜리 반원을 정의합니다. 나머지 $n - 1$개의 점이 모두 그 반원 안에 들어올 확률은 $(1/2)^{n-1}$입니다. 이 $n$개의 사건은 상호 배타적이므로(점들이 원 전체에 걸쳐 있지 않는 한), 전체 확률은 $n / 2^{n-1}$이 됩니다. $n = 3$을 대입하면 $3 / 4 = 75\%$를 얻습니다.

Q: 두 개의 동심원이 있을 때, 길이가 8인 바깥쪽 원의 현이 안쪽 원에 접합니다. 두 원 사이의 고리 모양 영역(환형, annulus)의 넓이는 얼마입니까?

답변: 바깥쪽 원과 안쪽 원의 반지름을 각각 $R$, $r$이라고 합시다. 접점에 그은 반지름 $r$은 현에 수직이며 현을 길이 4인 두 선분으로 이등분합니다. 이렇게 만들어진 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같습니다.

따라서 환형 영역의 넓이는 $\pi (R^2 - r^2) =$ **$16 \pi$**입니다.

Q: 컵 A에는 순수한 우유 1컵이 들어 있고, 컵 B에는 순수한 물 1컵이 들어 있습니다. 컵 A에서 우유 1티스푼을 떠서 컵 B에 넣고 잘 저은 다음, 컵 B의 혼합물 1티스푼을 다시 떠서 컵 A에 넣었습니다. 이제 컵 A에 들어 있는 물의 양이 컵 B에 들어 있는 우유의 양보다 많을까요, 아니면 그 반대일까요?

답변: 정확히 같습니다. 두 컵 모두 처음과 끝의 전체 액체 부피가 동일하기 때문에(각각 1컵), 현재 컵 A에 자리 잡고 있는 물의 부피만큼 정확히 동일한 부피의 우유가 밀려나 현재 컵 B에 자리 잡고 있어야 합니다.