🧠 Max Damaの自動取引ノート：ブレインティーザー集（強化版） 🔗

本稿は、Max Dama氏の著名なノート『On Automated Trading』に登場するクオンツ面接のトピックに着想を得て作成した、オリジナルの修正・拡張版スタディガイドです。出回っている元のノートに含まれていたいくつかの数学的誤りを修正し、省略されていた導出過程を完全に書き下し、すべての問題を明確で自己完結した形式に再構成しています。

📑 目次 🔗

📈 マーケットメイクとベッティング 🔗

Q: 袋の中に100枚のコインが入っています。98枚は公正なコイン（表50%、裏50%）、1枚は両面が表（HH）、もう1枚は両面が裏（TT）です。無作為に1枚のコインを取り出して1回投げたところ、表が出ました。取り出したコインが両面表（HH）である事後確率はいくらですか？

解答： ベイズの定理を適用します。 100枚のコインのうち、98枚は確率 $0.5$ で表を出し、1枚は確率 $1$ で表を出し、1枚は確率 $0$ で表を出します。表が出る事象を $H$ 、両面表のコインを選ぶ事象を $HH$ とすると、次のようになります。

P(HH \mid H) = \frac{P(H \mid HH) P(HH)}{P(H)}

P(H) = \left(\frac{98}{100} \cdot 0.5\right) + \left(\frac{1}{100} \cdot 1\right) + \left(\frac{1}{100} \cdot 0\right) = 0.49 + 0.01 = 0.50

P(HH \mid H) = \frac{1 \cdot 0.01}{0.50} = \frac{1}{50} = 2\%

直感的に考えると、袋の中には等確率で現れるコインの「面」が合計200面あり、そのうちちょうど100面が「表」です。そして、その100面のうち2面が両面表のコインに属しているため、確率は $2\%$ となります。

Q: 10,000枚の公正なコインを投げるとします（表なら1点、裏なら0点）。「表の合計枚数が厳密に5,000枚未満になる」という条件に対してイーブンマネー（1対1の配当）の賭けを持ちかけられ、$1から$100までの任意の整数ドルを賭けることができます。いくら賭けるべきでしょうか？また、表の合計枚数が厳密に5,100枚未満であることを事前に知っていた場合、最適な賭け金はどう変わりますか？

解答： まず、ちょうど真ん中の5,000枚が表になる確率を計算します。

P(X = 5000) = \binom{10000}{5000} \cdot 0.5^{10000} \approx \frac{1}{\sqrt{5000\pi}} \approx 0.79\%

二項分布の対称性により、表の枚数が厳密に5,000枚未満になる確率は次の通りです。

P(X < 5000) = \frac{1 - 0.0079}{2} = 49.6\%

イーブンマネーの配当に対して勝率が50%未満であるため、この賭けの期待値はマイナスです。したがって、賭け金は $0 にすべきです。

「 $X < 5100$ である」という事前情報がある場合： 標準偏差は $\sigma = \sqrt{10000 \cdot 0.25} = 50$ であるため、5,100という閾値は平均より $+2 \sigma$ 上に位置し、その累積確率は $P(X < 5100) \approx 97.7\%$ です。 $X < 5100$ という条件の下で、 $X < 5000$ の賭けに勝つ更新後の確率は次のようになります。

P(X < 5000 \mid X < 5100) = \frac{P(X < 5000)}{P(X < 5100)} = \frac{0.496}{0.977} \approx 50.76\%

これでプラスのエッジ（優位性）が生まれました。ケリー基準（イーブンマネーの賭けでは $f^* = 2p - 1$ ）を適用すると、次のようになります。

f^* = 2(0.5076) - 1 = 0.0152

したがって、資金（バンクロール）の1.52% を賭けるべきです。

(注：もし賭け自体の勝利条件が $X < 5100$ であれば、勝率は $97.7\%$ となり、ケリー比率は資金の $2(0.977) - 1 = 95.4\%$ となります)。

Q: 公正な6面サイコロを繰り返し振り、出た目の累計を記録していき、累計が63を超えた時点で終了します。最後から2番目（終了する直前）のロールが特定の目 $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ であった確率はいくらですか？

解答： 1から6までのどの目についても、確率は一様に $1/6$ です。累計和に関するマルコフ連鎖は63に到達するずっと前に剰余に関してほぼ一様な定常分布に収束しており、最後から2番目のロールは最後の終了ロールの条件が付く前に完了しているため、どの面も等しい確率（ $1/6$ ）のままになります。

Q: $2、$4、$8、$16、$32、$64が入った6つの封筒が、厳密にソートされた順序（昇順または降順が等確率）で一列に並んでいます。隣り合う2つの封筒が選ばれ、シャッフルされてあなたと取引相手に1つずつ配られました。自分の封筒を開けると $16 が入っていました。封筒の交換を申し出るべきでしょうか？

解答： あなたが $16 の封筒を手にする4つの等確率なケース（昇順で2通り、降順で2通り）を考えます。

ペア（$8, $16）、昇順 → 交換すると $8 になる（$8 の損失）。
ペア（$16, $32）、昇順 → 交換すると $32 になる（$16 の利益）。
ペア（$32, $16）、降順 → 交換すると $32 になる（$16 の利益）。
ペア（$16, $8）、降順 → 交換すると $8 になる（$8 の損失）。

2人の合理的なプレイヤーによる取引ゲーム（逆選択／取引不成立定理：No-Trade Theorem）では、取引相手も交換に応じる前に自分の封筒の中身を見る場合、相手は $32 を持っていれば決して交換に応じず、$8 を持っていれば必ず交換に応じます！したがって、双方の合意に基づく任意の取引の期待値はマイナスになります（相手が $8 を持っているときだけ約定するためです）。もし交換が一方的（相手の同意なしに強制できるもの）であれば、$16 は端ではない内側の値であるため、交換による期待値は $0.5(8) + 0.5(32) = 20 > 16$ となり、交換すべきです。

Q: ある確率分布からランダムな個数 $N$ を引き、次に（ $N$ とは独立した）第2の分布から独立同分布（i.i.d.）のサンプル $X_1, X_2, \dots, X_N$ を $N$ 個引くとします。これらの合計の理論価格（フェアバリュー）はどのように評価しますか？

解答： **ウォルドの恒等式（Wald’s Identity）**により、 $N$ が系列 $X_i$ と独立である場合、ランダムな個数の和の期待値は、単純に2つの期待値の積になります。

E\left(\sum_{i=1}^{N} X_i\right) = E(N) \cdot E(X)

Q: 表が出れば $+x$ を得て、裏が出れば $-y$ を失う（ $x > y > 0$ ）公正なコイントスにおいて、対数効用を最大化するバンクロールの最適な賭け比率を導出してください。

解答： リスクに晒す1単位あたりの純配当オッズを $b = x/y$ 、勝率を $p = 0.5$ としてケリー基準を用いると、次のようになります。

f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b}

f^* = \frac{0.5(x/y + 1) - 1}{x/y} = \frac{0.5((x+y)/y) - 1}{x/y} = \frac{0.5x - 0.5y}{x} = \frac{x - y}{2x}

なお、この比率は損失 $y$ に対してスケーリングされたものです。裏が出た際に実際に失うリスクに晒される総資金の割合が $(x - y) / (2x)$ となります。

Q: 25ファクターのクオンツ取引モデルと100ファクターのモデルでは、リサーチやリスク管理のアプローチはどう異なりますか？もし100ファクターのモデルがバックテストで25%高いパフォーマンスを示した場合、それを実運用に投入すべきかどうかをどのように評価しますか？

解答： 25ファクターから100ファクターに増やすと、自由度が劇的に増加し、**インサンプルでの過学習（オーバーフィッティング）**のリスク（次元の呪い）が大幅に高まります。特徴量を4倍に増やしてバックテストのリターンやシャープレシオが25%改善したとしても、それは真のアウトオブサンプルのシグナルではなく、過去のノイズに適合しただけである可能性が極めて高いです。厳密に評価するための手順は以下の通りです。

多重共線性と次元削減（PCA）： ファクター間の相関行列と固有値スペクトルを調べ、追加された75個のファクターが実際にいくつの直交するリスク／アルファ次元を張っているかを確認します。
正則化と情報量規準： $L_1$ （Lasso）やElastic Net正則化を適用し、ペナルティ付きのモデル選択指標（AIC、BIC、または交差検証による対数尤度）を比較して、追加されたパラメータがその複雑さのペナルティに見合うかどうかを確認します。
厳格なアウトオブサンプル検証とウォークフォワード検証： 手つかずのホールドアウト期間でのパフォーマンス減衰をテストし、回転率（ターンオーバー）や取引コストによる目減りを測定します。

Q: ある資産が価格 $p$ からスタートし、 $x\%$ 上昇した後、続いて $x\%$ 下落しました（ $x > 0$ ）。最終的な価格は元の価格 $p$ と比べてどうなりますか？

解答： 厳密に $p$ より小さくなります（ボラティリティ・ドラッグとして知られています）。なぜなら、下落時のパーセンテージは上昇後のより大きな基準価格 $p(1+x)$ に対して適用されるからです。

p \cdot (1+x) \cdot (1-x) = p \cdot (1-x^2) < p

Q: $100のバンクロールからスタートし、90%の確率で表が出る偏ったコインに対して100回の連続した賭けが提供されます。 $x$ ドルを賭けると、裏なら $x$ ドルを失い、表なら $2x$ ドルが戻ってきます。各トスでバンクロールのどれだけの割合を賭けるべきですか？

解答： 最適な割合は、「 $2x$ ドルが戻ってくる」というのが $2x$ の純利益（2対1のオッズ、 $b = 2$ ）を意味するのか、それとも $2x$ の総払い戻し（純利益は $x$ 、1対1のオッズ、 $b = 1$ ）を意味するのかによって異なります。

ケース1（純利益が $+2x$ 、 $b = 2$ の場合）： $f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} = \frac{0.9(3) - 1}{2} = 85\%$
ケース2（総払い戻しが $2x$ 、純利益が $+x$ 、 $b = 1$ の場合）： $f^* = 2p - 1 = 2(0.9) - 1 = 80\%$

Q: ニューヨーク市にあるマンホールの蓋の総数について、ツーウェイのマーケット（Bid/Ask）を提示してください。

解答： 道路の総延長からフェルミ推定を組み立てます。ニューヨーク市の人口は約850万人で、舗装された道路の総延長は約6,000マイルです。公共インフラの点検用マンホール（下水、水道、電気、通信）は道路沿いに約100フィートごとに設置されており、これは1マイルあたり約 $5,280 / 100 \approx 52$ 個に相当します。 $6{,}000\text{ miles} \times 52\text{ covers/mile} \approx 312{,}000\text{ covers}$ 。推定のばらつきを考慮すると、妥当な初期マーケットは Bid 200,000 / Ask 450,000 となります。

🎲 確率 🔗

Q: 公正なコインを1,000回投げて、ちょうど500回表が出る確率を、暗算で誤差5%以内の精度で推定してください。

解答： スターリングの近似公式 $n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$ を適用します。

P(X = 500) = \binom{1000}{500} 0.5^{1000} = \frac{1000!}{500! \cdot 500!} 0.5^{1000}

\approx \frac{\sqrt{2\pi \cdot 1000} (1000/e)^{1000} \cdot 0.5^{1000}}{\left(\sqrt{2\pi \cdot 500} (500/e)^{500}\right)^2}

= \frac{\sqrt{2000\pi}}{2\pi \cdot 500} = \frac{1}{\sqrt{500\pi}}

$500 \pi \approx 1570$ であり、 $40^2 = 1600$ なので、 $\sqrt{1570} \approx 39.6 \approx 40$ となります。したがって、 $P \approx 1/40 = 2.5\%$ です（正確な値は $2.523\%$ です）。

Q: 強いプレイヤーAと弱いプレイヤーBの2人の対戦相手と3試合のテニスチャレンジを行い、合格するには2連勝しなければなりません。対戦スケジュールとして A-B-A と B-A-B のどちらを選ぶべきですか？

解答： AとBに対する1試合ごとの勝率をそれぞれ $P_a$ 、 $P_b$ とします（ $P_a < P_b$ ）。 3試合中2連勝するためには、真ん中の試合（第2試合）に必ず勝ち、かつ両端の試合（第1試合または第3試合）のうち少なくとも1つに勝つ必要があります。

A-B-A の場合： $P(\text{Win}) = P_b \cdot (1 - (1-P_a)^2) = P_b (2P_a - P_a^2) = 2 P_a P_b - P_a^2 P_b$
B-A-B の場合： $P(\text{Win}) = P_a \cdot (1 - (1-P_b)^2) = P_a (2P_b - P_b^2) = 2 P_a P_b - P_a P_b^2$

$P_a < P_b$ であるため、 $P_a^2 P_b < P_a P_b^2$ となり、A-B-A の方が厳密に有利になります！ (補足：直感的にはBと2回対戦できるB-A-Bを選びたくなりますが、絶対に勝たなければならない真ん中の第2試合で強い相手Aと戦うと、 $2P_a P_b - P_a^2 P_b > 2P_a P_b - P_a P_b^2$ となり全体の勝率は下がってしまいます。A-B-Aを選ぶことで、要となる第2試合を弱い相手Bと戦えるため勝率が最大化されるのです！)

Q: 2人のプレイヤーが交互に公正な6面サイコロを振ります。プレイヤー1が先に振り、1が出れば即座に勝利します。出なければプレイヤー2が振り、6が出れば即座に勝利します。それも出なければプレイヤー1の番に戻り、決着がつくまで繰り返します。各プレイヤーの勝率を求めてください。

解答： ラウンド開始時点でのプレイヤー1の勝率を $E$ とします。

E = \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot E\right)

E = \frac{1}{6} + \frac{25}{36} E

\frac{11}{36} E = \frac{1}{6} \implies E = \frac{6}{11} \approx 54.55\%

プレイヤー2の勝率は $1 - 6/11 = 5/11 \approx 45.45\%$ となります。

Q: 標準的な52枚のトランプのデッキ（赤26枚、黒26枚）からカードを1枚ずつめくっていきます。デッキがなくなる前の任意のタイミングで、あなたは「ストップ」と宣言し、次にめくられるカードの色に賭けることができます（赤なら +$1、黒なら -$1）。最適停止ルールの下でこのゲームをプレイするための公正な参加費（フェアプライス）はいくらですか？

解答： $0 です。 ステップ $t$ においてデッキに残っている赤いカードの割合はマルチンゲールを形成します。ドゥーブの任意停止定理（Doob’s Optional Stopping Theorem）により、任意の有界な停止時刻 $\tau$ において、時刻 $\tau$ での赤いカードの期待割合は初期割合（ $26/52 = 0.5$ ）に等しくなります。つまり、どのようなカードカウンティング戦略を用いてもプラスの期待利得を得ることはできません。

Q: ある希少疾患（一般集団における有病率0.5%）の医療スクリーニング検査は、感度（真陽性率）が99%、特異度（真陰性率）が99%です。無作為に検査を受けた人が陽性判定を受けた場合、その人が実際にその疾患を持っている確率はいくらですか？

解答： ベイズの定理より、次のようになります。

P(\text{Condition} \mid \text{Positive}) = \frac{0.005 \cdot 0.99}{(0.005 \cdot 0.99) + (0.995 \cdot 0.01)}

= \frac{0.00495}{0.00495 + 0.00995} = \frac{0.00495}{0.0149} \approx 33.22\%

基準率（有病率 $0.5\%$ ）が偽陽性率（ $1\%$ ）よりも小さいため、陽性判定のおよそ3分の2は偽陽性となります。

Q: 皿の上に3枚のパンケーキが重なっています。1枚は両面がこんがり焼けており、1枚は片面が焼けていてもう片面は白く、もう1枚は両面とも白いです。無作為に選んだパンケーキの上の面を見たところ、こんがり焼けていました。その裏側の面も焼けている確率はいくらですか？

解答： パンケーキの枚数ではなく、等確率で現れる「面」の数を数えます。パンケーキの面は全部で6面あり、そのうち3面が焼けています。その焼けている3面のうち2面は「両面が焼けているパンケーキ」のものであり、それらの裏面も焼けています。したがって、確率は $2/3 \approx 66.7\%$ です。

Q: 公正な6面サイコロを繰り返し振るとき、次の事象が観測されるまでに必要なロール回数の期待値を求めてください：(a) 6が1回出る、(b) 6が2回連続で出る（6-6）、(c) 6の直後に5が出る（6-5）。

解答：

(a) 最初の6が出るまで（ $E_6$ ）：
$E_6 = 1 + \frac{5}{6} E_6 \implies E_6 = 6$
(b) 連続して6-6が出るまで（ $E_{66}$ ）： 6が1回出た直後の状態から必要な残りロール回数の期待値を $F$ とします。
$E_{66} = 1 + \frac{1}{6} F + \frac{5}{6} E_{66}$
$F = 1 + \frac{5}{6} E_{66}$
これを解くと、 $E_{66} = 42$ 回となります（6以外の目が出ると完全に振り出しに戻るためです）。
(c) 6-5の並びが出るまで（ $E_{65}$ ）： 6が出た直後の状態から必要な残りロール回数の期待値を $F_6$ とします。
$E_{65} = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{5}{6} E_{65}$
$F_6 = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{4}{6} E_{65}$
（6の後にまた6が出た場合、最初からやり直しになるのではなく、状態 $F_6$ に留まることができるからです！）これを解くと、 $E_{65} = 36$ 回となります。

Q: 公正な6面サイコロを振り、最終的に出た目の数に等しいドルを受け取ります。最初のロールの後、最大2回まで（合計で最大3ロールまで）振り直すことができますが、振り直すたびに前のロールの結果は破棄されます。このゲームの理論価値（フェアバリュー）はいくらですか？

解答： 後ろ向き帰納法（バックワード・インダクション）で解きます。

残り1ロール： 期待ペイアウトは $E_1 = 3.5$ です。
残り2ロール： 4、5、6が出たらキープし（ $3.5$ を超えているため）、1、2、3が出たら振り直します。 $E_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4+5+6}{3} + \frac{1}{2} \cdot (3.5) = 2.5 + 1.75 = 4.25$
残り3ロール： 5または6が出たらキープし（ $4.25$ を超えているため）、1、2、3、4が出たら振り直します。 $E_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5+6}{2} + \frac{2}{3} \cdot (4.25) = 1.833 + 2.833 = 4.667$

このゲームのフェアバリューは $4.67（ $14/3$ ドル）です。

Q: 2人のプレイヤーが交互に公正なコインを投げ、最初に表を出したプレイヤーが $1 を獲得します。後攻ではなく先攻になるために、最大いくらまで支払う価値がありますか？

解答： 先攻プレイヤーの期待利得を $E$ とします。

E = 0.5(1) + 0.5(1 - E) \implies E = \frac{2}{3}

後攻プレイヤーの期待利得は $1 - 2/3 = 1/3$ であるため、先攻になることの優位性（価値）は $2/3 - 1/3 = 1/3$ 、すなわち $0.33 です。

Q: 5枚のコイン（4枚の公正なコインと1枚の両面表のコイン）の中から無作為に1枚を選び、5回投げたところ、5回連続で表が出ました。選んだコインが両面表のコインであった確率はいくらですか？

解答： ベイズの定理より、次のようになります。

P(\text{Double} \mid \text{5H}) = \frac{1 \cdot 0.2}{(1 \cdot 0.2) + (0.5^5 \cdot 0.8)} = \frac{0.2}{0.2 + 0.025} = \frac{8}{9} \approx 88.89\%

🧮 暗算（Mental Math） 🔗

高速暗算のベンチマーク問題：

$7^3 = 49 \cdot 7 = (50 - 1) \cdot 7 = 350 - 7 =$ 343
$165$ の $15\% = 10\%(165) + 5\%(165) = 16.5 + 8.25 =$ 24.75
$1,000,000 - 1,011 =$ 998,989
$123$ の $54\% = 50\%(123) + 4\%(123) = 61.5 + 4.92 =$ 66.42
$55^2 = (50 \cdot 60) + 5^2 = 3000 + 25 =$ 3,025

🧩 数学と論理 🔗

Q: 半径 $r$ の円形の湖のちょうど中心に泳いでいる人がおり、岸辺にはその人の最大泳速の2倍の速さ（ $v$ に対して $2v$ ）で外周に沿って走れる捕食者がいます。捕食者が常に泳いでいる人に最も近い岸辺の地点に向かって外周上を移動すると仮定した場合、泳いでいる人は捕食者が到着する前に陸地にたどり着くことができますか？

解答： はい、できます。 たとえ泳いでいる人が捕食者の初期位置と正反対の方向へまっすぐ半径に沿って泳ぐだけでも、泳ぐ距離は $r$ （所要時間は $r / v$ ）で済むのに対し、捕食者は円周の半分にあたる距離 $\pi r$ （所要時間は $(\pi r) / (2v)$ ）を走らなければなりません。 $\pi / 2 \approx 1.57 > 1$ であるため、泳いでいる人は捕食者よりも十分に早く岸にたどり着くことができます。

Q: アナログ時計の時針と分針が深夜12:00に重なっています。次に2つの針が重なる正確な時刻は何時何分何秒ですか？

解答： 分針は1時間に $360^\circ$ 進み、時針は1時間に $30^\circ$ 進むため、相対的な角速度は1時間あたり $330^\circ$ です。次に針が重なるのは、分針が時針に対してちょうど1周分（ $360^\circ$ ）の差をつけたときです。

$t = \frac{360}{330} = \frac{12}{11}\text{ hours} = 1\text{ hour and }\frac{1}{11}\text{ hour}$
$\frac{1}{11} \times 60\text{ minutes} = 5.4545\dots\text{ minutes}$
$0.4545\dots \times 60\text{ seconds} = 27.27\dots\text{ seconds}$

したがって、次に重なる時刻は 午前 1:05:27.27 です。

Q: 3人の決闘者 A（命中率100%）、B（命中率66%）、C（命中率33%）が、最も命中率の低いCから始めて B、A の順に、最後の1人が生き残るまで順番に発砲します。Cの最初のターンにおける最適な行動は何ですか？

解答： Cは最初のターンで**意図的に外す（地面や空に向かって撃つ）**べきです。

もしCがBを撃って倒してしまうと、次のターンで（命中率100%の）Aが確実にCを倒します。
もしCがAを撃って倒してしまうと、次はBが66%の確率でCを撃ち抜くことになります。
もしCがパス（空撃ち）すれば、Bは（生かしておけば100%自分を殺す脅威となる）Aを狙わざるを得ません。その撃ち合いでAとBのどちらが生き残ったとしても、結果として生じる1対1の決闘でCは確実に先制射撃の権利を得ることができ、Cの生存確率が最大化されます。

Q: 無限べき乗タワー $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$ を満たす正の実数 $x$ を求めてください。

解答： 無限の指数タワー全体が2に収束するため、底 $x$ の上にある指数タワーの部分を2に置き換えると次のようになります。

x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}

Q: 多重根号 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ の値を求めてください。

解答： 多重根号の極限値を $x > 0$ と置きます。

x = \sqrt{2 + x}

x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0

$x > 0$ より、求める値は $x = 2$ です。

Q: 長さ1の棒を、その長さに沿って独立かつ一様ランダムに選んだ2点で折ります。できた3つの断片で三角形を作ることができる確率はいくらですか？

解答： 25%（ $1/4$ ）です。 三角不等式により、合計の長さが1である3つの線分が三角形を形成するための必要十分条件は、それぞれの線分の長さが厳密に $1/2$ 未満であることです。一様ランダムな2つの折れ点 $(u, v) \in [0, 1]^2$ をプロットすると、 $\min(u,v) < 1/2$ 、 $1 - \max(u,v) < 1/2$ 、かつ $|u - v| < 1/2$ を満たす有効な領域は、それぞれ面積 $1/8$ の2つの三角形で構成されます。したがって、合計の確率は $2 \cdot (1/8) = 1/4 = 25\%$ となります。

Q: 円周上に独立かつ一様ランダムに3つの点を選びます。3つの点すべてが何らかの共通の半円周上に収まる確率はいくらですか？

解答： 75%（ $3/4$ ）です。 一般に、円周上に独立かつ一様に選ばれた $n$ 個の点がある場合、各点を始点として時計回りに長さ $1/2$ の半円を定義すると、残りの $n - 1$ 個の点すべてがその半円内に収まる確率は $(1/2)^{n-1}$ です。これら $n$ 個の事象は（点が円全体に広がっていない限り）互いに排反であるため、全体の確率は $n / 2^{n-1}$ となります。ここに $n = 3$ を代入すると、 $3 / 4 = 75\%$ が得られます。

Q: 2つの同心円があり、外側の円の長さ8の弦が内側の円に接しています。2つの円の間の円環（リング状の領域）の面積はいくらですか？

解答： 外側の円と内側の円の半径をそれぞれ $R$ と $r$ とします。接点に向かって引いた半径 $r$ は弦に対して垂直であり、弦を長さ4の2つの線分に二等分します。これによってできる直角三角形に三平方の定理（ピタゴラスの定理）を適用すると、次のようになります。

r^2 + 4^2 = R^2 \implies R^2 - r^2 = 16

したがって、円環の面積は $\pi (R^2 - r^2) =$ $16 \pi$ です。

Q: カップAには純粋な牛乳が1カップ、カップBには純粋な水が1カップ入っています。カップAからティースプーン1杯分の牛乳をカップBに移してよくかき混ぜた後、カップBの混合液をティースプーン1杯分だけカップAに戻します。このとき、カップAに含まれる水の量と、カップBに含まれる牛乳の量はどちらが多いでしょうか？

解答： まったく同じ量です。 どちらのカップも最初と最後で液体の総量（それぞれ1カップ）がまったく変わらないため、現在カップAに入っている水の体積は、そのままカップAから追い出されて現在カップBに入っている牛乳の体積と完全に等しくなります。

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