📐 Derivazione passo dopo passo della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado 🔗

Se hai studiato algebra, molto probabilmente hai imparato a memoria la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado (o formula quadratica). Ma da dove viene?

La formula quadratica non è magia; è il risultato della risoluzione dell’equazione di secondo grado in forma normale rispetto a $x$ utilizzando una tecnica chiamata completamento del quadrato.

Ecco la derivazione passo dopo passo, che spiega esattamente come passiamo dalla forma normale alla celebre formula.

📑 Indice 🔗

1️⃣ Passaggio 1: Partire dalla forma normale 🔗

Ogni equazione di secondo grado può essere scritta in forma normale, dove $a$, $b$ e $c$ sono costanti note e $a \neq 0$:

2️⃣ Passaggio 2: Dividere per a 🔗

Per utilizzare facilmente il metodo del “completamento del quadrato”, vogliamo che il coefficiente del termine $x^2$ sia $1$. Otteniamo questo risultato dividendo l’intera equazione (entrambi i membri) per $a$:

3️⃣ Passaggio 3: Spostare il termine noto 🔗

Successivamente, isoliamo i termini con la $x$ al membro di sinistra. Lo facciamo sottraendo il termine noto, $c/a$, da entrambi i membri dell’equazione:

4️⃣ Passaggio 4: Completare il quadrato 🔗

Questo è il passaggio più cruciale. Vogliamo trasformare il membro di sinistra dell’equazione in un “trinomio quadrato perfetto” — un’espressione che può essere scomposta nella forma $(x + k)^2$.

Per farlo, prendiamo esattamente la metà del coefficiente di $x$ (che è $b/a$), lo eleviamo al quadrato e lo sommiamo a entrambi i membri per mantenere l’equazione bilanciata.

La metà di $b/a$ è $b/(2a)$. Elevandolo al quadrato otteniamo $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Sommiamolo a entrambi i membri:

5️⃣ Passaggio 5: Scomporre il membro di sinistra ed elevare al quadrato il membro di destra 🔗

Grazie al modo in cui lo abbiamo costruito nel Passaggio 4, il membro di sinistra può ora essere scomposto perfettamente nel quadrato di un binomio. Al membro di destra, applicheremo semplicemente il quadrato alla nostra frazione:

6️⃣ Passaggio 6: Trovare un denominatore comune 🔗

Per sommare le frazioni al membro di destra dell’equazione, abbiamo bisogno di un denominatore comune. Il minimo comune denominatore tra $a$ e $4a^2$ è $4a^2$.

Moltiplichiamo numeratore e denominatore di $-c/a$ per $4a$:

Ora possiamo unirle in un’unica frazione. Riordineremo anche il numeratore per dargli un aspetto più familiare:

7️⃣ Passaggio 7: Estrarre la radice quadrata 🔗

Per risolvere rispetto a $x$, dobbiamo eliminare il quadrato al membro di sinistra. Lo facciamo estraendo la radice quadrata di entrambi i membri.

Regola fondamentale: Quando estrai la radice quadrata di entrambi i membri di un’equazione, devi considerare sia la radice positiva sia quella negativa ($\pm$) al membro di destra.

Possiamo semplificare il denominatore poiché la radice quadrata di $4a^2$ è semplicemente $2a$:

8️⃣ Passaggio 8: Isolare la x 🔗

L’ultimo passaggio consiste nell’isolare completamente la $x$. Sottraiamo $b/(2a)$ da entrambi i membri:

Poiché entrambe le frazioni condividono già lo stesso denominatore ($2a$), possiamo combinarle in un’unica espressione finale:

🎯 Conclusione 🔗

Ed eccola qui! Completando sistematicamente il quadrato, abbiamo ricavato la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Questa formula ti permetterà ora di trovare $x$ in qualsiasi equazione di secondo grado semplicemente sostituendo i valori di $a$, $b$ e $c$.