🧠 Max Dama sul Trading Automatizzato - Rompicapi (Edizione Migliorata) 🔗

Questa è una guida allo studio originale, corretta e ampliata, ispirata agli argomenti dei colloqui quantitativi presenti negli appunti On Automated Trading di Max Dama. Diversi errori matematici presenti negli appunti originali in circolazione sono stati corretti, le derivazioni mancanti sono state svolte per intero e ogni problema è stato riformulato in modo chiaro e autonomo.

📑 Indice 🔗

📈 Market Making e Scommesse 🔗

D: Un sacchetto contiene 100 monete: 98 sono eque (50% Testa, 50% Croce), 1 ha doppia Testa (HH) e 1 ha doppia Croce (TT). Estrai una moneta in modo uniformemente casuale, la lanci una volta e osservi Testa. Qual è la probabilità a posteriori di aver estratto la moneta con doppia Testa?

Risposta: Applicando il Teorema di Bayes: Delle 100 monete, 98 danno Testa con probabilità $0.5$, 1 dà Testa con probabilità $1$ e 1 dà Testa con probabilità $0$. Sia $H$ l’osservazione di Testa e $HH$ la selezione della moneta a doppia Testa:

Intuitivamente, ci sono 200 facce di monete ugualmente probabili nel sacchetto, esattamente 100 delle quali sono Testa, e 2 di queste 100 appartengono alla moneta a doppia Testa — dando una probabilità del $2\%$.

D: Supponiamo che vengano lanciate 10.000 monete eque (1 punto per Testa e 0 per Croce). Ti viene offerta una scommessa alla pari (1 a 1) sul fatto che il numero totale di Teste sia strettamente inferiore a 5.000, e puoi puntare qualsiasi importo intero in dollari da $1 a $100. Quanto dovresti scommettere? Come cambia la tua puntata ottimale se scopri in anticipo che il numero totale di Teste è strettamente inferiore a 5.100?

Risposta: Per prima cosa, calcoliamo la probabilità di ottenere esattamente il valore centrale di 5.000 Teste:

Per la simmetria della distribuzione binomiale, la probabilità di ottenere strettamente meno di 5.000 Teste è:

Poiché la tua probabilità di vincita è inferiore al 50% su un pagamento alla pari, la scommessa ha un valore atteso negativo. Dovresti scommettere $0.

Con l’informazione aggiuntiva che $X < 5100$: Poiché la deviazione standard è $\sigma = \sqrt{10000 \cdot 0.25} = 50$, una soglia di 5.100 si trova a $+2 \sigma$ sopra la media, a cui corrisponde una probabilità cumulativa $P(X < 5100) \approx 97.7\%$. Condizionando rispetto a $X < 5100$, la tua probabilità aggiornata di vincere la scommessa $X < 5000$ diventa:

Ora hai un vantaggio positivo. Applicando il Criterio di Kelly ($f^* = 2p - 1$ per le scommesse alla pari):

Dovresti puntare l’1,52% del tuo bankroll.

(Nota: Se invece la scommessa stessa paga ogni volta che $X < 5100$, la tua probabilità di vincita è del $97.7\%$ e la frazione di Kelly è $2(0.977) - 1 = 95.4\%$ del tuo bankroll).

D: Lanci ripetutamente un dado equo a sei facce e tieni una somma progressiva, fermandoti non appena il totale cumulativo supera 63. Qual è la probabilità che il penultimo lancio sia stato uno specifico valore $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$?

Risposta: La probabilità è uniformemente $1/6$ per ciascun valore da 1 a 6. Poiché la catena di Markov sulla somma progressiva raggiunge una distribuzione stazionaria quasi uniforme sui resti molto prima di arrivare a 63, e il penultimo lancio viene completato prima che venga condizionato il lancio finale di arresto, ogni faccia rimane ugualmente probabile ($1/6$).

D: Sei buste sigillate contenenti $2, $4, $8, $16, $32 e $64 sono disposte in fila in ordine strettamente ordinato (crescente o decrescente, con uguale probabilità). Due buste adiacenti vengono selezionate, mescolate e distribuite a te e a una controparte. Apri la tua e trovi $16. Dovresti offrire di scambiare le buste?

Risposta: Considera i quattro modi ugualmente probabili in cui puoi avere in mano la busta da $16 (due in ordine crescente, due in ordine decrescente):

1. Coppia ($8, $16), crescente → Lo scambio dà $8 (perdi $8).
2. Coppia ($16, $32), crescente → Lo scambio dà $32 (guadagni $16).
3. Coppia ($32, $16), decrescente → Lo scambio dà $32 (guadagni $16).
4. Coppia ($16, $8), decrescente → Lo scambio dà $8 (perdi $8).

In un gioco di trading razionale a due giocatori (Selezione Avversa / Teorema del No-Trade), se anche la controparte guarda dentro la propria busta prima di accettare uno scambio, non accetterà mai quando ha $32 e accetterà sempre quando ha $8! Pertanto, uno scambio reciproco facoltativo ha un valore atteso negativo (il tuo ordine viene eseguito solo quando la controparte ha $8). Se lo scambio è unilaterale (forzato senza il consenso della controparte), allora poiché $16 è un valore interno, lo scambio rende $0.5(8) + 0.5(32) = 20 > 16$.

D: Supponiamo di estrarre un conteggio casuale $N$ da una distribuzione di probabilità, e poi di estrarre $N$ campioni indipendenti e identicamente distribuiti $X_1, X_2, \dots, X_N$ da una seconda distribuzione (indipendente da $N$). Come calcoli il valore equo della loro somma?

Risposta: Per l’Identità di Wald, quando $N$ è indipendente dalla sequenza $X_i$, il valore atteso della somma casuale è semplicemente il prodotto dei due valori attesi:

D: Deriva la frazione ottimale del tuo bankroll secondo l’utilità logaritmica da puntare sul lancio di una moneta equa che paga $+x$ con Testa e perde $-y$ con Croce ($x > y > 0$).

Risposta: Usando il Criterio di Kelly in cui la quota netta di pagamento per unità rischiata è $b = x/y$ e la probabilità di vincita è $p = 0.5$:

Nota che questa frazione è scalata rispetto a una perdita di $y$; la frazione del capitale totale esposta a perdita in caso di Croce è $(x - y) / (2x)$.

D: In che modo il tuo approccio di ricerca e gestione del rischio differisce tra un modello di trading quantitativo a 25 fattori e un modello a 100 fattori? Se il modello a 100 fattori mostra una performance di backtest superiore del 25%, come valuteresti se metterlo in produzione?

Risposta: Passare da 25 a 100 fattori aumenta drasticamente i gradi di libertà e il rischio di overfitting in-sample (la maledizione della dimensionalità). Un miglioramento del 25% nel rendimento di backtest o nello Sharpe ratio su un numero quadruplo di feature si spiega facilmente con l’adattamento al rumore storico piuttosto che con un vero segnale out-of-sample. Per valutarlo rigorosamente:

1. Collinearità e riduzione della dimensionalità (PCA): Ispeziona la matrice di correlazione dei fattori e lo spettro degli autovalori per vedere quante dimensioni ortogonali di rischio/alfa coprono effettivamente quei 75 fattori extra.
2. Regolarizzazione e criteri di informazione: Applica la regolarizzazione $L_1$ (Lasso) / Elastic Net e confronta le metriche penalizzate di selezione del modello (AIC, BIC o log-verosimiglianza in cross-validation) per verificare se i parametri aggiunti giustificano la penalità di complessità.
3. Validazione rigorosa Out-of-Sample e Walk-Forward: Testa il decadimento delle performance su un periodo di holdout mai toccato e misura il turnover e l’impatto dei costi di transazione.

D: Un asset parte dal prezzo $p$, sale dell’$x\%$ e successivamente scende dell’$x\%$ (con $x > 0$). Come si confronta il prezzo finale rispetto a $p$?

Risposta: È strettamente inferiore a $p$ (effetto noto come volatility drag). Poiché il calo percentuale viene applicato alla base più ampia successiva al guadagno, $p(1+x)$:

D: Partendo da un bankroll di $100, ti vengono offerte 100 scommesse sequenziali su una moneta truccata che dà Testa con il 90% di probabilità. Puntando $x$ dollari si perde $x$ con Croce e si ricevono $2x$ con Testa. Quale frazione del tuo bankroll dovresti scommettere a ogni lancio?

Risposta: La frazione ottimale dipende dal fatto che “ricevere $2x$” significhi un profitto netto di $2x$ (quota 2 a 1, $b = 2$) oppure un incasso lordo di $2x$ (profitto netto $x$, quota 1 a 1, $b = 1$):

• Caso 1 (Profitto netto $+2x$, $b = 2$): $$f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} = \frac{0.9(3) - 1}{2} = 85\%$$
• Caso 2 (Incasso lordo $2x$, profitto netto $+x$, $b = 1$): $$f^* = 2p - 1 = 2(0.9) - 1 = 80\%$$

D: Crea un mercato bilaterale (Bid/Ask) sul numero totale di chiusini dei tombini a New York City.

Risposta: Costruiamo una stima di Fermi a partire chilometraggio stradale: New York City ha circa 8,5 milioni di abitanti e approssimativamente 6.000 miglia di strade asfaltate. I chiusini di accesso ai servizi (fognature, acqua, elettricità, telecomunicazioni) compaiono all’incirca ogni 100 piedi lungo le strade cittadine, il che equivale a circa $5{,}280 / 100 \approx 52$ chiusini per miglio: $6{,}000\text{ miglia} \times 52\text{ chiusini/miglio} \approx 312{,}000\text{ chiusini}$. Tenendo conto della varianza della stima, un mercato iniziale ragionevole è 200.000 Bid a 450.000 Ask.

🎲 Probabilità 🔗

D: Stima la probabilità di ottenere esattamente 500 Teste in 1.000 lanci di una moneta equa con una precisione entro il 5% usando il calcolo mentale.

Risposta: Applica l’approssimazione di Stirling, $n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$:

Poiché $500 \pi \approx 1570$ e $40^2 = 1600$, $\sqrt{1570} \approx 39.6 \approx 40$. Pertanto $P \approx 1/40 = 2.5\%$ (il valore esatto è $2.523\%$).

D: Per superare una sfida di tennis su tre partite contro due avversari — un giocatore più forte A e un giocatore più debole B — devi vincere due partite consecutive. Dovresti scegliere il calendario A-B-A o B-A-B?

Risposta: Siano $P_a$ e $P_b$ le tue probabilità di vittoria in una singola partita contro A e B, con $P_a < P_b$. Per vincere due partite di fila su tre, devi vincere la partita centrale (Partita 2) e almeno una delle partite esterne (Partita 1 o Partita 3):

• Con A-B-A: $P(\text{Win}) = P_b \cdot (1 - (1-P_a)^2) = P_b (2P_a - P_a^2) = 2 P_a P_b - P_a^2 P_b$
• Con B-A-B: $P(\text{Win}) = P_a \cdot (1 - (1-P_b)^2) = P_a (2P_b - P_b^2) = 2 P_a P_b - P_a P_b^2$

Poiché $P_a < P_b$, abbiamo $P_a^2 P_b < P_a P_b^2$, il che rende A-B-A strettamente migliore! (Nota di correzione: Sebbene l’intuizione suggerisca spesso di affrontare B due volte in B-A-B, giocare contro l’avversario più forte A nella partita centrale obbligatoria dà in realtà una probabilità totale inferiore perché $2P_a P_b - P_a^2 P_b > 2P_a P_b - P_a P_b^2$. Affrontare A-B-A massimizza la tua probabilità di vincere il cruciale incontro centrale contro l’avversario più debole B!)

D: Due giocatori lanciano a turno un dado equo a sei facce. Il Giocatore 1 lancia per primo e vince immediatamente se esce 1; altrimenti il Giocatore 2 lancia e vince immediatamente se esce 6; altrimenti il turno torna al Giocatore 1, e così via. Trova la probabilità di vincita di ciascun giocatore.

Risposta: Sia $E$ la probabilità di vincita del Giocatore 1 dall’inizio di un round:

La probabilità di vincita del Giocatore 2 è $1 - 6/11 = 5/11 \approx 45.45\%$.

D: Le carte di un mazzo standard da 52 carte (26 rosse, 26 nere) vengono girate una alla volta. In qualsiasi momento prima che il mazzo finisca, puoi dire “Stop” e scommettere sul colore della carta immediatamente successiva (+$1 se rossa, -$1 se nera). Qual è il prezzo equo per giocare a questo gioco secondo una regola di arresto ottimale?

Risposta: $0. La frazione di carte rosse rimanenti nel mazzo al passo $t$ forma una martingala. Per il Teorema di Arresto Opzionale di Doob, per qualsiasi tempo di arresto limitato $\tau$, la proporzione attesa di carte rosse al tempo $\tau$ è uguale alla proporzione iniziale ($26/52 = 0.5$), il che significa che nessuna strategia di conteggio delle carte può ottenere un payoff atteso positivo.

D: Un test di screening medico per una condizione rara (prevalenza dello 0,5% nella popolazione generale) ha una sensibilità del 99% (tasso di veri positivi) e una specificità del 99% (tasso di veri negativi). Se un individuo sottoposto al test a caso riceve un risultato positivo, qual è la probabilità che abbia effettivamente la condizione?

Risposta: Per il Teorema di Bayes:

Poiché il tasso di base ($0.5\%$) è inferiore al tasso di falsi positivi ($1\%$), circa due terzi degli screening positivi sono falsi positivi.

D: Tre pancake sono impilati su un piatto: uno è dorato su entrambi i lati, uno è dorato su un lato e chiaro sull’altro, e uno è chiaro su entrambi i lati. Guardi la faccia superiore di un pancake scelto a caso e vedi che è dorata. Qual è la probabilità che anche il lato inferiore sia dorato?

Risposta: Conta le facce ugualmente probabili invece dei pancake: ci sono 6 lati di pancake in totale, 3 dei quali sono dorati. Due di queste 3 facce dorate appartengono al pancake dorato su entrambi i lati, in cui anche la faccia opposta è dorata. Pertanto, la probabilità è $2/3 \approx 66.7\%$.

D: Lanciando ripetutamente un dado equo a sei facce, trova il numero atteso di lanci necessari per osservare: (a) un singolo 6, (b) due 6 consecutivi (6-6) e (c) un 6 immediatamente seguito da un 5 (6-5).

Risposta:

• (a) Primo 6 ($E_6$):

  $$E_6 = 1 + \frac{5}{6} E_6 \implies E_6 = 6$$

• (b) 6-6 consecutivi ($E_{66}$): Sia $F$ il numero atteso di lanci rimanenti dopo aver appena ottenuto un singolo 6:

  $$E_{66} = 1 + \frac{1}{6} F + \frac{5}{6} E_{66}$$
  $$F = 1 + \frac{5}{6} E_{66}$$

  Risolvendo si ottiene $E_{66} = 42$ lanci (perché ottenere qualsiasi numero diverso da 6 azzera completamente i progressi).

• (c) Sequenza 6-5 ($E_{65}$): Sia $F_6$ il numero atteso di lanci rimanenti dopo aver ottenuto un 6:

  $$E_{65} = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{5}{6} E_{65}$$
  $$F_6 = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{4}{6} E_{65}$$

  (Perché ottenere un altro 6 ti mantiene nello stato $F_6$ invece di farti ripartire da zero!) Risolvendo si ottiene $E_{65} = 36$ lanci.

D: Lanci un dado equo a sei facce e ricevi un pagamento in dollari pari alla faccia finale mostrata. Dopo il lancio iniziale, puoi scegliere di rilanciare fino a due volte aggiuntive (per un massimo di 3 lanci totali), rinunciando a qualsiasi risultato precedente ogni volta che rilanci. Qual è il valore equo di questo gioco?

Risposta: Risolviamo per induzione a ritroso:

• 1 lancio rimanente: Il pagamento atteso è $E_1 = 3.5$.
• 2 lanci rimanenti: Tieni 4, 5 o 6 (poiché superano $3.5$) e rilancia 1, 2 o 3: $$E_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4+5+6}{3} + \frac{1}{2} \cdot (3.5) = 2.5 + 1.75 = 4.25$$
• 3 lanci rimanenti: Tieni 5 o 6 (poiché superano $4.25$) e rilancia 1, 2, 3 o 4: $$E_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5+6}{2} + \frac{2}{3} \cdot (4.25) = 1.833 + 2.833 = 4.667$$

Il valore equo del gioco è $4.67 ($14/3$ di dollaro).

D: Due giocatori si alternano nel lanciare una moneta equa e il primo giocatore che ottiene Testa vince $1. Quanto dovresti essere disposto a pagare per iniziare per primo anziché per secondo?

Risposta: Sia $E$ il payoff atteso del primo giocatore:

Poiché il payoff atteso del secondo giocatore è $1 - 2/3 = 1/3$, il vantaggio di muovere per primo è $2/3 - 1/3 = 1/3$, ovvero $0.33.

D: Su 5 monete — quattro monete eque e una a doppia Testa — ne scegli una a caso e la lanci 5 volte, osservando 5 Teste consecutive. Qual è la probabilità di aver selezionato la moneta a doppia Testa?

Risposta: Per il Teorema di Bayes:

🧮 Calcolo Mentale 🔗

Riferimenti per il calcolo mentale rapido:

• $7^3 = 49 \cdot 7 = (50 - 1) \cdot 7 = 350 - 7 =$ 343
• $15\%$ di $165 = 10\%(165) + 5\%(165) = 16.5 + 8.25 =$ 24.75
• $1,000,000 - 1,011 =$ 998,989
• $54\%$ di $123 = 50\%(123) + 4\%(123) = 61.5 + 4.92 =$ 66.42
• $55^2 = (50 \cdot 60) + 5^2 = 3000 + 25 =$ 3,025

🧩 Matematica e Logica 🔗

D: Un nuotatore si trova esattamente al centro di un lago circolare di raggio $r$, mentre un predatore sulla riva può correre lungo il perimetro al doppio della velocità massima di nuoto del nuotatore ($2v$ contro $v$). Supponendo che il predatore si muova sempre lungo la riva verso il punto più vicino al nuotatore, può il nuotatore raggiungere la terraferma prima che arrivi il predatore?

Risposta: Sì. Anche se il nuotatore nuota semplicemente lungo una linea retta radiale direttamente opposta alla posizione iniziale del predatore, il nuotatore deve coprire solo la distanza $r$ (impiegando un tempo $r / v$), mentre il predatore deve percorrere metà della circonferenza, una distanza pari a $\pi r$ (impiegando un tempo $(\pi r) / (2v)$). Poiché $\pi / 2 \approx 1.57 > 1$, il nuotatore raggiunge la riva ben prima del predatore.

D: Le lancette delle ore e dei minuti di un orologio analogico si sovrappongono a mezzanotte (12:00). A che ora esatta si sovrapporranno la volta successiva?

Risposta: La lancetta dei minuti percorre $360^\circ$ all’ora, mentre quella delle ore percorre $30^\circ$ all’ora, dando una velocità angolare relativa di $330^\circ$ all’ora. Le lancette si sovrappongono nuovamente quando la lancetta dei minuti guadagna un intero giro di $360^\circ$ su quella delle ore:

• $t = \frac{360}{330} = \frac{12}{11}\text{ ore} = 1\text{ ora e }\frac{1}{11}\text{ di ora}$
• $\frac{1}{11} \times 60\text{ minuti} = 5.4545\dots\text{ minuti}$
• $0.4545\dots \times 60\text{ secondi} = 27.27\dots\text{ secondi}$

Si sovrappongono nuovamente alle 1:05:27.27 AM.

D: Tre duellanti — A (precisione del 100%), B (precisione del 66%) e C (precisione del 33%) — sparano a turno in ordine circolare iniziando dal tiratore più debole C, seguito da B, poi da A, finché non ne sopravvive solo uno. Qual è la prima mossa ottimale di C?

Risposta: C dovrebbe mancare intenzionalmente il bersaglio (sparare a terra o in aria) al primo turno.

• Se C spara ed elimina B, A (con il 100% di precisione) eliminerà sicuramente C nel turno immediatamente successivo.
• Se C spara ed elimina A, B avrà il tiro successivo contro C con il 66% di probabilità di eliminarlo.
• Se C passa il turno, B deve mirare ad A (poiché A rappresenta una minaccia letale al 100% se lasciato in vita). Chiunque sopravviva tra A e B a quello scambio, C avrà la certezza di avere il primo tiro nel successivo duello 1 contro 1, massimizzando la propria probabilità di sopravvivenza.

D: Risolvi per $x$ reale positivo nella torre di potenze infinita $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$.

Risposta: Poiché la torre di esponenti infinita converge a 2, sostituendo 2 alla torre di esponenti sopra la base $x$ si ottiene:

D: Calcola il radicale annidato $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$.

Risposta: Sia $x > 0$ il limite del radicale annidato:

Poiché $x > 0$, il valore è $x = 2$.

D: Un bastoncino di lunghezza unitaria viene spezzato in due punti scelti in modo indipendente e uniformemente casuale lungo la sua lunghezza. Qual è la probabilità che i tre pezzi risultanti possano formare un triangolo?

Risposta: 25% ($1/4$). Per la Disuguaglianza Triangolare, tre segmenti di lunghezza totale 1 formano un triangolo se e solo se ciascun segmento ha lunghezza strettamente inferiore a $1/2$. Tracciando i due punti di rottura uniformi $(u, v) \in [0, 1]^2$, la regione valida in cui $\min(u,v) < 1/2$, $1 - \max(u,v) < 1/2$ e $|u - v| < 1/2$ è costituita da due triangoli ciascuno di area $1/8$, dando una probabilità totale di $2 \cdot (1/8) = 1/4 = 25\%$.

D: Tre punti vengono scelti in modo indipendente e uniformemente casuale sulla circonferenza di un cerchio. Qual è la probabilità che tutti e tre giacciano su uno stesso semicerchio comune?

Risposta: 75% ($3/4$). In generale, per $n$ punti uniformi indipendenti su un cerchio, ogni punto definisce un semicerchio in senso orario che parte da quel punto di lunghezza $1/2$; la probabilità che tutti gli altri $n - 1$ punti cadano al suo interno è $(1/2)^{n-1}$. Poiché questi $n$ eventi sono mutuamente esclusivi (assumendo che i punti non coprano l’intero cerchio), la probabilità totale è $n / 2^{n-1}$. Ponendo $n = 3$ si ottiene $3 / 4 = 75\%$.

D: Dati due cerchi concentrici, una corda del cerchio esterno di lunghezza 8 è tangente al cerchio interno. Qual è l’area della corona circolare (anello) compresa tra i due cerchi?

Risposta: Siano $R$ e $r$ il raggio esterno e quello interno. Il raggio $r$ tracciato fino al punto di tangenza è perpendicolare alla corda e la divide a metà in due segmenti di lunghezza 4. Per il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo risultante:

Pertanto, l’area della corona circolare è $\pi (R^2 - r^2) =$ $16 \pi$.

D: La Tazza A contiene 1 tazza di latte puro e la Tazza B contiene 1 tazza di acqua pura. Trasferisci 1 cucchiaino di latte dalla Tazza A alla Tazza B, mescoli accuratamente e poi trasferisci 1 cucchiaino della miscela dalla Tazza B nuovamente nella Tazza A. Ora la Tazza A contiene più acqua di quanto latte contenga la Tazza B, o viceversa?

Risposta: Sono identiche. Poiché entrambe le tazze iniziano e finiscono esattamente con lo stesso volume totale di liquido (1 tazza ciascuna), qualunque volume d’acqua si trovi ora nella Tazza A deve aver sostituito un identico volume di latte che ora si trova nella Tazza B.