🧠 ऑटोमेटेड ट्रेडिंग पर मैक्स डामा - ब्रेन टीज़र (संवर्धित संस्करण) 🔗

यह मैक्स डामा (Max Dama) के On Automated Trading नोट्स में शामिल क्वांटिटेटिव साक्षात्कार विषयों से प्रेरित एक मूल, संशोधित और विस्तारित अध्ययन मार्गदर्शिका है। मूल रूप से प्रसारित नोट्स की कई गणितीय त्रुटियों को ठीक किया गया है, छूटे हुए डेरिवेशन (derivations) को पूरी तरह से हल किया गया है, और प्रत्येक समस्या को स्पष्ट, आत्मनिर्भर रूप में फिर से लिखा गया है।

📑 विषय-सूची 🔗

📈 मार्केट मेकिंग और बेटिंग (Market Making and Betting) 🔗

प्रश्न: एक बैग में 100 सिक्के हैं: 98 निष्पक्ष हैं (50% चित (Heads), 50% पट (Tails)), 1 दोनों तरफ से चित (HH) है, और 1 दोनों तरफ से पट (TT) है। आप यादृच्छिक रूप से (uniformly at random) एक सिक्का निकालते हैं, उसे एक बार उछालते हैं, और चित (Heads) पाते हैं। इसकी पश्च प्रायिकता (posterior probability) क्या है कि आपने दोनों तरफ चित वाला सिक्का निकाला है?

उत्तर: बेज़ प्रमेय (Bayes’ Theorem) लागू करने पर: 100 सिक्कों में से, 98 सिक्के $0.5$ की प्रायिकता के साथ चित देते हैं, 1 सिक्का $1$ की प्रायिकता के साथ चित देता है, और 1 सिक्का $0$ की प्रायिकता के साथ चित देता है। मान लीजिए कि $H$ चित आने को दर्शाता है, और $HH$ दोनों तरफ चित वाले सिक्के को चुनने को दर्शाता है:

P(HH \mid H) = \frac{P(H \mid HH) P(HH)}{P(H)}

P(H) = \left(\frac{98}{100} \cdot 0.5\right) + \left(\frac{1}{100} \cdot 1\right) + \left(\frac{1}{100} \cdot 0\right) = 0.49 + 0.01 = 0.50

P(HH \mid H) = \frac{1 \cdot 0.01}{0.50} = \frac{1}{50} = 2\%

सहज रूप से, बैग में 200 समान रूप से संभावित सिक्कों के पहलू (faces) हैं, जिनमें से ठीक 100 चित हैं, और उन 100 में से 2 पहलू दोनों तरफ चित वाले सिक्के के हैं—जिससे $2\%$ प्रायिकता प्राप्त होती है।

प्रश्न: मान लीजिए कि 10,000 निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं (चित के लिए 1 और पट के लिए 0 अंक)। आपको एक बराबर पैसे (even-money, 1-से-1) की शर्त की पेशकश की जाती है कि चित की कुल संख्या 5,000 से सख्ती से कम है, और आप $1 से $100 तक की कोई भी पूर्णांक डॉलर राशि दांव पर लगा सकते हैं। आपको कितना दांव लगाना चाहिए? यदि आपको पहले से पता चल जाए कि चित की कुल संख्या 5,100 से सख्ती से कम है, तो आपका इष्टतम दांव कैसे बदलता है?

उत्तर: सबसे पहले, ठीक 5,000 चित के मध्य बिंदु पर आने की प्रायिकता की गणना करें:

P(X = 5000) = \binom{10000}{5000} \cdot 0.5^{10000} \approx \frac{1}{\sqrt{5000\pi}} \approx 0.79\%

द्विपद बंटन (binomial distribution) की सममिति से, 5,000 से सख्ती से कम चित मिलने की प्रायिकता है:

P(X < 5000) = \frac{1 - 0.0079}{2} = 49.6\%

चूँकि बराबर पैसे के भुगतान पर आपकी जीतने की प्रायिकता 50% से कम है, इसलिए इस शर्त का अपेक्षित मूल्य (expected value) ऋणात्मक है। आपको $0 का दांव लगाना चाहिए।

इस अतिरिक्त जानकारी के साथ कि $X < 5100$ है: चूँकि मानक विचलन $\sigma = \sqrt{10000 \cdot 0.25} = 50$ है, इसलिए 5,100 की सीमा माध्य से $+2 \sigma$ ऊपर स्थित है, जिसकी संचयी प्रायिकता $P(X < 5100) \approx 97.7\%$ है। $X < 5100$ की शर्त रखने पर, $X < 5000$ की शर्त जीतने की आपकी अपडेटेड प्रायिकता बन जाती है:

P(X < 5000 \mid X < 5100) = \frac{P(X < 5000)}{P(X < 5100)} = \frac{0.496}{0.977} \approx 50.76\%

अब आपके पास एक सकारात्मक बढ़त (positive edge) है। केली मानदंड (Kelly Criterion, बराबर पैसे की शर्तों के लिए $f^* = 2p - 1$ ) लागू करने पर:

f^* = 2(0.5076) - 1 = 0.0152

आपको अपने बैंकरोल का 1.52% दांव पर लगाना चाहिए।

(नोट: यदि इसके बजाय शर्त स्वयं तब भुगतान करती है जब $X < 5100$ होता है, तो आपकी जीतने की प्रायिकता $97.7\%$ है, और केली अंश आपके बैंकरोल का $2(0.977) - 1 = 95.4\%$ होगा).

प्रश्न: आप एक निष्पक्ष छह-तरफ़ा पासे को बार-बार फेंकते हैं और एक चालू योग (running sum) रखते हैं, और जैसे ही संचयी योग 63 से अधिक होता है, आप रुक जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि सेकंड-लास्ट (penultimate) रोल एक विशिष्ट मान $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ था?

उत्तर: 1 से 6 तक के प्रत्येक मान के लिए प्रायिकता समान रूप से $1/6$ है। चूँकि चालू योग पर मार्कोव चेन 63 तक पहुँचने से बहुत पहले अवशेषों (residues) पर लगभग एक समान स्थिर बंटन (stationary distribution) तक पहुँच जाती है, और सेकंड-लास्ट रोल अंतिम स्टॉपिंग रोल की शर्त लागू होने से पहले पूरा हो जाता है, इसलिए प्रत्येक पहलू समान रूप से संभावित ( $1/6$ ) रहता है।

प्रश्न: $2, $4, $8, $16, $32 और $64 वाले छह सीलबंद लिफाफे सख्ती से क्रमबद्ध क्रम में (या तो आरोही या अवरोही, समान प्रायिकता के साथ) एक पंक्ति में रखे गए हैं। दो आसन्न (adjacent) लिफाफे चुने जाते हैं, उन्हें मिलाया जाता है, और आपको तथा एक काउंटरपार्टी को दिया जाता है। आप अपना लिफाफा खोलते हैं और उसमें $16 पाते हैं। क्या आपको लिफाफे बदलने (swap) की पेशकश करनी चाहिए?

उत्तर: उन चार समान रूप से संभावित तरीकों पर विचार करें जिनसे आपके पास $16 का लिफाफा हो सकता है (दो आरोही क्रम के तहत, दो अवरोही क्रम के तहत):

जोड़ी ($8, $16), आरोही → बदलने पर $8 मिलते हैं ($8 का नुकसान)।
जोड़ी ($16, $32), आरोही → बदलने पर $32 मिलते हैं ($16 का लाभ)।
जोड़ी ($32, $16), अवरोही → बदलने पर $32 मिलते हैं ($16 का लाभ)।
जोड़ी ($16, $8), अवरोही → बदलने पर $8 मिलते हैं ($8 का नुकसान)।

दो-खिलाड़ियों के तर्कसंगत ट्रेडिंग गेम (Adverse Selection / No-Trade Theorem) में, यदि काउंटरपार्टी भी स्वैप स्वीकार करने से पहले अपने लिफाफे के अंदर झांकती है, तो वे $32 होने पर कभी स्वीकार नहीं करेंगे और $8 होने पर हमेशा स्वीकार करेंगे! इस प्रकार, एक वैकल्पिक पारस्परिक ट्रेड का अपेक्षित मूल्य ऋणात्मक होता है (आपका ट्रेड केवल तभी पूरा होता है जब काउंटरपार्टी के पास $8 हों)। यदि स्वैप एकतरफा है (काउंटरपार्टी की सहमति के बिना अनिवार्य), तो चूँकि $16 एक आंतरिक मान है, इसलिए बदलने पर $0.5(8) + 0.5(32) = 20 > 16$ प्राप्त होता है।

प्रश्न: मान लीजिए कि आप एक प्रायिकता बंटन से एक यादृच्छिक गिनती $N$ निकालते हैं, और फिर दूसरे बंटन ( $N$ से स्वतंत्र) से $N$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) नमूने $X_1, X_2, \dots, X_N$ निकालते हैं। आप उनके योग के उचित मूल्य (fair value) का निर्धारण कैसे करेंगे?

उत्तर: वाल्ड की सर्वसमिका (Wald’s Identity) के अनुसार, जब $N$ , $X_i$ अनुक्रम से स्वतंत्र होता है, तो यादृच्छिक योग का अपेक्षित मूल्य बस दोनों अपेक्षाओं का गुणनफल होता है:

E\left(\sum_{i=1}^{N} X_i\right) = E(N) \cdot E(X)

प्रश्न: एक निष्पक्ष सिक्के के उछाल पर दांव लगाने के लिए अपने बैंकरोल के लॉग-यूटिलिटी इष्टतम अंश (optimal fraction) की व्युत्पत्ति करें जो चित आने पर $+x$ का भुगतान करता है और पट आने पर $-y$ खो देता है ( $x > y > 0$ )。

उत्तर: केली मानदंड का उपयोग करते हुए जहाँ जोखिम में डाली गई प्रति इकाई शुद्ध भुगतान ऑड्स $b = x/y$ हैं और जीतने की प्रायिकता $p = 0.5$ है:

f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b}

f^* = \frac{0.5(x/y + 1) - 1}{x/y} = \frac{0.5((x+y)/y) - 1}{x/y} = \frac{0.5x - 0.5y}{x} = \frac{x - y}{2x}

ध्यान दें कि यह अंश $y$ के नुकसान के सापेक्ष स्केल किया गया है; पट परिणाम पर कुल पूंजी का वह अंश जो नुकसान के जोखिम में है, वह $(x - y) / (2x)$ है।

प्रश्न: 25-फैक्टर क्वांटिटेटिव ट्रेडिंग मॉडल और 100-फैक्टर मॉडल के बीच आपका अनुसंधान और जोखिम-प्रबंधन दृष्टिकोण कैसे भिन्न होता है? यदि 100-फैक्टर मॉडल 25% अधिक बैकटेस्टेड प्रदर्शन दिखाता है, तो आप इसका मूल्यांकन कैसे करेंगे कि इसे तैनात (deploy) किया जाए या नहीं?

उत्तर: 25 फैक्टर्स से 100 फैक्टर्स पर जाने से स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) और इन-सैंपल ओवरफिटिंग का जोखिम नाटकीय रूप से बढ़ जाता है (आयामीता का अभिशाप / curse of dimensionality)। 4 गुना अधिक फ़ीचर्स में बैकटेस्टेड रिटर्न या शार्प रेशियो में 25% का सुधार वास्तविक आउट-ऑफ-सैंपल सिग्नल के बजाय ऐतिहासिक शोर (noise) को फिट करने से आसानी से समझाया जा सकता है। इसका कठोरता से मूल्यांकन करने के लिए:

कोलिनियरिटी और आयामीता में कमी (PCA): फैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स और आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रम का निरीक्षण करें ताकि यह देखा जा सके कि वे 75 अतिरिक्त फैक्टर्स वास्तव में कितने ऑर्थोगोनल जोखिम/अल्फा आयामों में फैले हुए हैं।
रेगुलराइजेशन और सूचना मानदंड: $L_1$ (Lasso) / इलास्टिक नेट रेगुलराइजेशन लागू करें और दंडित मॉडल चयन मेट्रिक्स (AIC, BIC, या क्रॉस-वैलिडेटेड लॉग-लाइकलीहुड) की तुलना करें ताकि यह देखा जा सके कि क्या जोड़े गए पैरामीटर अपने जटिलता दंड को सही ठहराते हैं।
सख्त आउट-ऑफ-सैंपल और वॉक-फॉरवर्ड सत्यापन: एक अछूती होल्डआउट अवधि पर प्रदर्शन में गिरावट का परीक्षण करें और टर्नओवर तथा लेनदेन-लागत ड्रैग को मापें।

प्रश्न: एक संपत्ति कीमत $p$ से शुरू होती है, $x\%$ बढ़ जाती है, और बाद में $x\%$ गिर जाती है ( $x > 0$ के साथ)। अंतिम कीमत की तुलना $p$ से कैसे की जाती है?

उत्तर: यह $p$ से सख्ती से कम होती है (जिसे वोलैटिलिटी ड्रैग के रूप में जाना जाता है)। क्योंकि प्रतिशत गिरावट लाभ के बाद के बड़े आधार $p(1+x)$ पर लागू होती है:

p \cdot (1+x) \cdot (1-x) = p \cdot (1-x^2) < p

प्रश्न: $100 के बैंकरोल के साथ शुरुआत करते हुए, आपको एक पक्षपाती (biased) सिक्के पर 100 अनुक्रमिक शर्तों की पेशकश की जाती है जो 90% प्रायिकता के साथ चित आता है। $x$ डॉलर दांव पर लगाने से पट आने पर $x$ का नुकसान होता है और चित आने पर $2x$ का रिटर्न मिलता है। आपको प्रत्येक उछाल पर अपने बैंकरोल का कितना अंश दांव पर लगाना चाहिए?

उत्तर: इष्टतम अंश इस बात पर निर्भर करता है कि “रिटर्न $2x$ ” का अर्थ $2x$ का शुद्ध लाभ (2-से-1 ऑड्स, $b = 2$ ) है या $2x$ का सकल भुगतान (शुद्ध लाभ $x$ , 1-से-1 ऑड्स, $b = 1$ ):

केस 1 (शुद्ध लाभ $+2x$ , $b = 2$ ): $f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} = \frac{0.9(3) - 1}{2} = 85\%$
केस 2 (सकल भुगतान $2x$ , शुद्ध लाभ $+x$ , $b = 1$ ): $f^* = 2p - 1 = 2(0.9) - 1 = 80\%$

प्रश्न: न्यूयॉर्क शहर में मैनहोल ढक्कनों (manhole covers) की कुल संख्या पर दो-तरफ़ा बाज़ार (Bid/Ask) बनाएं।

उत्तर: हम सड़क की लंबाई (मील) से एक फर्मी अनुमान (Fermi estimate) बनाते हैं: न्यूयॉर्क शहर में लगभग 85 लाख निवासी हैं और लगभग 6,000 मील पक्की सड़कें हैं। उपयोगिता पहुंच ढक्कन (सीवर, पानी, बिजली, दूरसंचार) शहर की सड़कों के किनारे लगभग हर 100 फीट पर दिखाई देते हैं, जो प्रति मील लगभग $5,280 / 100 \approx 52$ ढक्कनों के बराबर होता है: $6{,}000\text{ मील} \times 52\text{ ढक्कन/मील} \approx 312{,}000\text{ ढक्कन}$ । अनुमान प्रसरण (estimation variance) को ध्यान में रखते हुए, एक उचित प्रारंभिक बाज़ार 200,000 Bid और 450,000 Ask है।

🎲 प्रायिकता (Probability) 🔗

प्रश्न: मानसिक गणित का उपयोग करके 5% सटीकता के भीतर एक निष्पक्ष सिक्के के 1,000 उछालों में ठीक 500 चित प्राप्त करने की प्रायिकता का अनुमान लगाएं।

उत्तर: स्टर्लिंग के सन्निकटन (Stirling’s approximation), $n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$ को लागू करें:

P(X = 500) = \binom{1000}{500} 0.5^{1000} = \frac{1000!}{500! \cdot 500!} 0.5^{1000}

\approx \frac{\sqrt{2\pi \cdot 1000} (1000/e)^{1000} \cdot 0.5^{1000}}{\left(\sqrt{2\pi \cdot 500} (500/e)^{500}\right)^2}

= \frac{\sqrt{2000\pi}}{2\pi \cdot 500} = \frac{1}{\sqrt{500\pi}}

चूँकि $500 \pi \approx 1570$ और $40^2 = 1600$ है, $\sqrt{1570} \approx 39.6 \approx 40$ । इस प्रकार $P \approx 1/40 = 2.5\%$ (सटीक मान $2.523\%$ है)।

प्रश्न: दो विरोधियों—एक मजबूत खिलाड़ी A और एक कमजोर खिलाड़ी B—के खिलाफ तीन-गेम की टेनिस चुनौती को पास करने के लिए आपको लगातार दो गेम जीतने होंगे। क्या आपको शेड्यूल A-B-A चुनना चाहिए या B-A-B?

उत्तर: मान लीजिए कि A और B के खिलाफ आपके एकल-गेम जीतने की प्रायिकताएं $P_a$ और $P_b$ हैं, जहाँ $P_a < P_b$ है। तीन में से लगातार दो गेम जीतने के लिए, आपको बीच वाला गेम (गेम 2) और बाहरी गेमों (गेम 1 या गेम 3) में से कम से कम एक गेम अवश्य जीतना होगा:

A-B-A के तहत: $P(\text{Win}) = P_b \cdot (1 - (1-P_a)^2) = P_b (2P_a - P_a^2) = 2 P_a P_b - P_a^2 P_b$
B-A-B के तहत: $P(\text{Win}) = P_a \cdot (1 - (1-P_b)^2) = P_a (2P_b - P_b^2) = 2 P_a P_b - P_a P_b^2$

चूँकि $P_a < P_b$ है, हमारे पास $P_a^2 P_b < P_a P_b^2$ है, जो A-B-A को सख्ती से बेहतर बनाता है! (सुधार नोट: यद्यपि अंतर्ज्ञान अक्सर बीच वाले गेम में B का सामना करने का सुझाव देता है, अनिवार्य बीच वाले गेम में मजबूत प्रतिद्वंद्वी A के साथ खेलने से वास्तव में कम कुल प्रायिकता मिलती है क्योंकि $2P_a P_b - P_a^2 P_b > 2P_a P_b - P_a P_b^2$ होता है। A-B-A का सामना करना कमजोर प्रतिद्वंद्वी B के खिलाफ महत्वपूर्ण बीच वाले मैच को जीतने की आपकी संभावना को अधिकतम करता है!)

प्रश्न: दो खिलाड़ी बारी-बारी से एक निष्पक्ष छह-तरफ़ा पासा फेंकते हैं। खिलाड़ी 1 पहले फेंकता है और 1 आने पर तुरंत जीत जाता है; अन्यथा खिलाड़ी 2 फेंकता है और 6 आने पर तुरंत जीत जाता है; अन्यथा खेल खिलाड़ी 1 के पास वापस आ जाता है, और इसी तरह आगे बढ़ता है। प्रत्येक खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि $E$ एक राउंड की शुरुआत से खिलाड़ी 1 के जीतने की प्रायिकता है:

E = \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot E\right)

E = \frac{1}{6} + \frac{25}{36} E

\frac{11}{36} E = \frac{1}{6} \implies E = \frac{6}{11} \approx 54.55\%

खिलाड़ी 2 के जीतने की प्रायिकता $1 - 6/11 = 5/11 \approx 45.45\%$ है।

प्रश्न: एक मानक 52-कार्ड डेक (26 लाल, 26 काले) से कार्ड एक-एक करके पलटे जाते हैं। डेक समाप्त होने से पहले किसी भी बिंदु पर, आप “रुकें (Stop)” कह सकते हैं और अगले ही कार्ड के रंग पर शर्त लगा सकते हैं (लाल होने पर +$1, काला होने पर -$1)। एक इष्टतम स्टॉपिंग नियम के तहत इस खेल को खेलने का उचित मूल्य (fair price) क्या है?

उत्तर: $0। चरण $t$ पर डेक में बचे हुए लाल कार्डों का अंश एक मार्टिंगेल (martingale) बनाता है। डूब के वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय (Doob’s Optional Stopping Theorem) के अनुसार, किसी भी परिबद्ध स्टॉपिंग समय $\tau$ के लिए, समय $\tau$ पर लाल कार्डों का अपेक्षित अनुपात प्रारंभिक अनुपात ( $26/52 = 0.5$ ) के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि कोई भी कार्ड-काउंटिंग रणनीति सकारात्मक अपेक्षित भुगतान प्राप्त नहीं कर सकती है।

प्रश्न: एक दुर्लभ स्थिति (सामान्य जनसंख्या में 0.5% व्यापकता) के लिए एक मेडिकल स्क्रीनिंग टेस्ट में 99% संवेदनशीलता (सही सकारात्मक दर) और 99% विशिष्टता (सही नकारात्मक दर) है। यदि यादृच्छिक रूप से परीक्षण किए गए किसी व्यक्ति को सकारात्मक परिणाम मिलता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उसे वास्तव में वह स्थिति है?

उत्तर: बेज़ प्रमेय के अनुसार:

P(\text{Condition} \mid \text{Positive}) = \frac{0.005 \cdot 0.99}{(0.005 \cdot 0.99) + (0.995 \cdot 0.01)}

= \frac{0.00495}{0.00495 + 0.00995} = \frac{0.00495}{0.0149} \approx 33.22\%

चूँकि आधार दर ( $0.5\%$ ) गलत-सकारात्मक दर ( $1\%$ ) से छोटी है, इसलिए सकारात्मक स्क्रीन के लगभग दो-तिहाई हिस्से गलत सकारात्मक (false positives) होते हैं।

प्रश्न: एक प्लेट में तीन पैनकेक एक के ऊपर एक रखे हैं: एक दोनों तरफ से भूरा (browned) है, एक एक तरफ से भूरा और दूसरी तरफ से पीला (pale) है, और एक दोनों तरफ से पीला है। आप यादृच्छिक रूप से चुने गए पैनकेक के ऊपरी हिस्से को देखते हैं और पाते हैं कि वह भूरा है। इसकी क्या प्रायिकता है कि उसका निचला हिस्सा भी भूरा है?

उत्तर: पैनकेक के बजाय समान रूप से संभावित पहलुओं (faces) को गिनें: कुल मिलाकर 6 पैनकेक पहलू हैं, जिनमें से 3 भूरे हैं। उन 3 भूरे पहलुओं में से दो पहलू दोनों तरफ से भूरे वाले पैनकेक के हैं, जहाँ विपरीत पहलू भी भूरा है। इसलिए, प्रायिकता $2/3 \approx 66.7\%$ है।

प्रश्न: एक निष्पक्ष छह-तरफ़ा पासे को बार-बार फेंकते हुए, निम्नलिखित को देखने के लिए आवश्यक रोल्स की अपेक्षित संख्या ज्ञात करें: (a) एक एकल 6, (b) लगातार दो 6 (6-6), और (c) एक 6 जिसके तुरंत बाद 5 आए (6-5)।

उत्तर:

(a) पहला 6 ( $E_6$ ):
$E_6 = 1 + \frac{5}{6} E_6 \implies E_6 = 6$
(b) लगातार 6-6 ( $E_{66}$ ): मान लीजिए कि $F$ एक एकल 6 फेंकने के तुरंत बाद शेष अपेक्षित रोल्स की संख्या है:
$E_{66} = 1 + \frac{1}{6} F + \frac{5}{6} E_{66}$
$F = 1 + \frac{5}{6} E_{66}$
हल करने पर $E_{66} = 42$ रोल्स मिलते हैं (क्योंकि 6 के अलावा कुछ भी आने पर आप पूरी तरह से रीसेट हो जाते हैं)।
(c) अनुक्रम 6-5 ( $E_{65}$ ): मान लीजिए कि $F_6$ , 6 आने के बाद शेष अपेक्षित रोल्स की संख्या है:
$E_{65} = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{5}{6} E_{65}$
$F_6 = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{4}{6} E_{65}$
(क्योंकि एक और 6 आने पर आप शुरुआत से रीसेट होने के बजाय स्थिति $F_6$ में ही बने रहते हैं!) हल करने पर $E_{65} = 36$ रोल्स मिलते हैं।

प्रश्न: आप एक निष्पक्ष छह-तरफ़ा पासा फेंकते हैं और दिखाए गए अंतिम पहलू के बराबर डॉलर का भुगतान प्राप्त करते हैं। प्रारंभिक रोल के बाद, आप दो अतिरिक्त बार (अधिकतम 3 कुल रोल्स के लिए) फिर से रोल करना चुन सकते हैं, और जब भी आप फिर से रोल करते हैं तो किसी भी पिछले रोल को छोड़ देते हैं। इस खेल का उचित मूल्य (fair value) क्या है?

उत्तर: बैकवर्ड इंडक्शन द्वारा हल करें:

1 रोल शेष: अपेक्षित भुगतान $E_1 = 3.5$ है।
2 रोल शेष: 4, 5, या 6 रखें (क्योंकि वे $3.5$ से अधिक हैं) और 1, 2, या 3 आने पर फिर से रोल करें: $E_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4+5+6}{3} + \frac{1}{2} \cdot (3.5) = 2.5 + 1.75 = 4.25$
3 रोल शेष: 5 या 6 रखें (क्योंकि वे $4.25$ से अधिक हैं) और 1, 2, 3, या 4 आने पर फिर से रोल करें: $E_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5+6}{2} + \frac{2}{3} \cdot (4.25) = 1.833 + 2.833 = 4.667$

खेल का उचित मूल्य $4.67 ( $14/3$ डॉलर) है।

प्रश्न: दो खिलाड़ी बारी-बारी से एक निष्पक्ष सिक्का उछालते हैं, और चित लाने वाला पहला खिलाड़ी $1 जीतता है। दूसरे के बजाय पहले जाने के लिए आपको कितना भुगतान करने के लिए तैयार रहना चाहिए?

उत्तर: मान लीजिए कि $E$ पहले खिलाड़ी का अपेक्षित भुगतान है:

E = 0.5(1) + 0.5(1 - E) \implies E = \frac{2}{3}

चूँकि दूसरे खिलाड़ी का अपेक्षित भुगतान $1 - 2/3 = 1/3$ है, इसलिए पहले चलने का लाभ $2/3 - 1/3 = 1/3$ , या $0.33 है।

प्रश्न: 5 सिक्कों—चार निष्पक्ष सिक्के और एक दोनों तरफ चित वाला सिक्का—में से आप यादृच्छिक रूप से एक चुनते हैं और उसे 5 बार उछालते हैं, जिसमें लगातार 5 बार चित आता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि आपने दोनों तरफ चित वाला सिक्का चुना है?

उत्तर: बेज़ प्रमेय के अनुसार:

P(\text{Double} \mid \text{5H}) = \frac{1 \cdot 0.2}{(1 \cdot 0.2) + (0.5^5 \cdot 0.8)} = \frac{0.2}{0.2 + 0.025} = \frac{8}{9} \approx 88.89\%

🧮 मानसिक गणित (Mental Math) 🔗

तेज़ मानसिक गणना के बेंचमार्क:

$7^3 = 49 \cdot 7 = (50 - 1) \cdot 7 = 350 - 7 =$ 343
$165$ का $15\% = 10\%(165) + 5\%(165) = 16.5 + 8.25 =$ 24.75
$1,000,000 - 1,011 =$ 998,989
$123$ का $54\% = 50\%(123) + 4\%(123) = 61.5 + 4.92 =$ 66.42
$55^2 = (50 \cdot 60) + 5^2 = 3000 + 25 =$ 3,025

🧩 गणित और तर्कशास्त्र (Math and Logic) 🔗

प्रश्न: एक तैराक त्रिज्या $r$ की एक वृत्ताकार झील के ठीक केंद्र में है, जबकि किनारे पर एक शिकारी तैराक की अधिकतम तैरने की गति से दोगुनी गति ( $2v$ बनाम $v$ ) से परिधि के साथ दौड़ सकता है। यह मानते हुए कि शिकारी हमेशा किनारे के साथ तैराक के सबसे नज़दीकी बिंदु की ओर बढ़ता है, क्या तैराक शिकारी के पहुँचने से पहले सूखी ज़मीन तक पहुँच सकता है?

उत्तर: हाँ। भले ही तैराक बस शिकारी की प्रारंभिक स्थिति के ठीक विपरीत एक सीधी रेडियल रेखा में तैरता है, तैराक को केवल दूरी $r$ तय करने की आवश्यकता होती है (जिसमें समय $r / v$ लगता है), जबकि शिकारी को परिधि के चारों ओर आधा चक्कर लगाना पड़ता है, जो $\pi r$ की दूरी है (जिसमें समय $(\pi r) / (2v)$ लगता है)। चूँकि $\pi / 2 \approx 1.57 > 1$ है, इसलिए तैराक शिकारी से काफ़ी पहले किनारे पर पहुँच जाता है।

प्रश्न: एक एनालॉग घड़ी की घंटे और मिनट की सुइयाँ मध्यरात्रि 12:00 बजे एक-दूसरे के ऊपर (overlap) होती हैं। वे अगली बार किस सटीक समय पर एक-दूसरे के ऊपर होंगी?

उत्तर: मिनट की सुई प्रति घंटे $360^\circ$ घूमती है, जबकि घंटे की सुई प्रति घंटे $30^\circ$ घूमती है, जिससे प्रति घंटे $330^\circ$ की सापेक्ष कोणीय गति मिलती है। सुइयाँ अगली बार तब एक-दूसरे के ऊपर आती हैं जब मिनट की सुई घंटे की सुई पर पूरा $360^\circ$ का चक्कर पूरा कर लेती है:

$t = \frac{360}{330} = \frac{12}{11}\text{ घंटे} = 1\text{ घंटा और }\frac{1}{11}\text{ घंटा}$
$\frac{1}{11} \times 60\text{ मिनट} = 5.4545\dots\text{ मिनट}$
$0.4545\dots \times 60\text{ सेकंड} = 27.27\dots\text{ सेकंड}$

वे अगली बार 1:05:27.27 AM पर एक-दूसरे के ऊपर होंगी।

प्रश्न: तीन द्वंद्वयुद्ध करने वाले (duelists)—A (100% सटीकता), B (66% सटीकता), और C (33% सटीकता)—सबसे कमजोर शूटर C से शुरू करते हुए, फिर B, फिर A के चक्रीय क्रम में तब तक गोली चलाते हैं जब तक कि केवल एक जीवित न बचे। C की इष्टतम पहली चाल क्या है?

उत्तर: C को पहली बारी में जानबूझकर निशाना चूकना चाहिए (ज़मीन/हवा में गोली चलानी चाहिए)।

यदि C गोली चलाता है और B को बाहर कर देता है, तो A (100% सटीकता के साथ) अगली ही बारी में C को बाहर करने की गारंटी देता है।
यदि C गोली चलाता है और A को बाहर कर देता है, तो B को C पर अगला शॉट मिलता है जिसमें C को बाहर करने की 66% संभावना होती है।
यदि C अपनी बारी छोड़ देता है, तो B को A को निशाना बनाना होगा (क्योंकि जीवित छोड़े जाने पर A 100% घातक खतरा है)। उस आदान-प्रदान में A या B में से जो भी बचता है, परिणामी 1-बनाम-1 द्वंद्वयुद्ध में C को पहला शॉट मिलने की गारंटी होती है, जिससे C के जीवित रहने की प्रायिकता अधिकतम हो जाती है।

प्रश्न: अनंत पावर टावर $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$ में धनात्मक वास्तविक $x$ के लिए हल करें।

उत्तर: चूँकि अनंत घातांक टावर 2 पर अभिसरित (converge) होता है, इसलिए आधार $x$ के ऊपर घातांक टावर के लिए 2 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}

प्रश्न: नेस्टेड रेडिकल $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ का मूल्यांकन करें।

उत्तर: मान लीजिए कि $x > 0$ नेस्टेड रेडिकल की सीमा को दर्शाता है:

x = \sqrt{2 + x}

x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0

चूँकि $x > 0$ है, इसलिए मान $x = 2$ है।

प्रश्न: इकाई लंबाई (unit length) की एक छड़ी को उसकी लंबाई के साथ स्वतंत्र रूप से और समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुने गए दो बिंदुओं पर तोड़ा जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि परिणामी तीन टुकड़े एक त्रिभुज बना सकते हैं?

उत्तर: 25% ( $1/4$ )。 त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality) के अनुसार, कुल लंबाई 1 के तीन खंड एक त्रिभुज तभी बनाते हैं जब प्रत्येक खंड की लंबाई $1/2$ से सख्ती से कम हो। दो समान ब्रेक बिंदुओं $(u, v) \in [0, 1]^2$ को प्लॉट करने पर, वैध क्षेत्र जहाँ $\min(u,v) < 1/2$ , $1 - \max(u,v) < 1/2$ , और $|u - v| < 1/2$ है, में $1/8$ क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज शामिल होते हैं, जो $2 \cdot (1/8) = 1/4 = 25\%$ की कुल प्रायिकता देते हैं।

प्रश्न: एक वृत्त की परिधि पर स्वतंत्र रूप से और समान रूप से यादृच्छिक रूप से तीन बिंदु चुने जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीनों किसी एक ही अर्धवृत्त (semicircle) पर स्थित हों?

उत्तर: 75% ( $3/4$ )。 सामान्य तौर पर, एक वृत्त पर $n$ स्वतंत्र समान बिंदुओं के लिए, प्रत्येक बिंदु उस बिंदु से शुरू होने वाले $1/2$ लंबाई के दक्षिणावर्त (clockwise) अर्धवृत्त को परिभाषित करता है; अन्य सभी $n - 1$ बिंदुओं के इसके भीतर आने की प्रायिकता $(1/2)^{n-1}$ है। चूँकि ये $n$ घटनाएँ परस्पर अनन्य (mutually exclusive) हैं (यह मानते हुए कि बिंदु पूरे वृत्त में नहीं फैले हैं), कुल प्रायिकता $n / 2^{n-1}$ है। $n = 3$ रखने पर $3 / 4 = 75\%$ प्राप्त होता है।

प्रश्न: दो संकेंद्रित वृत्त (concentric circles) दिए गए हैं, बाहरी वृत्त की 8 लंबाई वाली एक जीवा (chord) आंतरिक वृत्त की स्पर्शरेखा (tangent) है। दोनों वृत्तों के बीच के वलय (annulus/ring) का क्षेत्रफल क्या है?

उत्तर: मान लीजिए कि $R$ और $r$ बाहरी और आंतरिक त्रिज्याएँ हैं। स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या $r$ जीवा के लंबवत होती है और इसे 4 लंबाई के दो खंडों में समद्विभाजित करती है। परिणामी समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

r^2 + 4^2 = R^2 \implies R^2 - r^2 = 16

इसलिए, वलय का क्षेत्रफल $\pi (R^2 - r^2) =$ $16 \pi$ है।

प्रश्न: कप A में 1 कप शुद्ध दूध है और कप B में 1 कप शुद्ध पानी है। आप कप A से 1 चम्मच दूध कप B में डालते हैं, अच्छी तरह मिलाते हैं, और फिर कप B से 1 चम्मच मिश्रण वापस कप A में डालते हैं। क्या अब कप A में कप B में मौजूद दूध की तुलना में अधिक पानी है, या इसके विपरीत?

उत्तर: वे बिल्कुल समान हैं। चूँकि दोनों कप बिल्कुल समान कुल तरल मात्रा (प्रत्येक 1 कप) के साथ शुरू और समाप्त होते हैं, इसलिए पानी की जो भी मात्रा अब कप A में है, उसने दूध की उतनी ही समान मात्रा को विस्थापित किया होगा जो अब कप B में है।

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