📐 Démonstration étape par étape de la formule quadratique 🔗

Si vous avez étudié l’algèbre, vous avez probablement mémorisé la formule quadratique (qui donne les racines d’un polynôme du second degré). Mais d’où vient-elle ?

La formule quadratique ne relève pas de la magie ; elle résulte de la résolution de l’équation générale du second degré en $x$ à l’aide d’une technique appelée la complétion du carré (ou mise sous forme canonique).

Voici la démonstration étape par étape, expliquant exactement comment nous passons de la forme générale à la célèbre formule.

📑 Table des Matières 🔗

1️⃣ Étape 1 : Partir de la forme générale 🔗

Toute équation du second degré peut s’écrire sous la forme générale, où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes connues, et $a \neq 0$ :

2️⃣ Étape 2 : Diviser par a 🔗

Pour utiliser facilement la méthode de la « complétion du carré », nous voulons que le coefficient de notre terme en $x^2$ soit égal à $1$. Nous y parvenons en divisant toute l’équation (les deux membres) par $a$ :

3️⃣ Étape 3 : Déplacer le terme constant 🔗

Ensuite, nous isolons les termes en $x$ dans le membre de gauche. Nous faisons cela en soustrayant le terme constant, $c/a$, des deux côtés de l’équation :

4️⃣ Étape 4 : Compléter le carré 🔗

C’est l’étape la plus cruciale. Nous voulons transformer le membre de gauche de l’équation en un « trinôme carré parfait » — une expression qui peut être factorisée sous la forme $(x + k)^2$.

Pour ce faire, nous prenons exactement la moitié du coefficient de $x$ (qui est $b/a$), nous l’élevons au carré et nous l’ajoutons des deux côtés pour maintenir l’équilibre de l’équation.

La moitié de $b/a$ est $b/(2a)$. En l’élevant au carré, nous obtenons $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Ajoutons-le aux deux membres :

5️⃣ Étape 5 : Factoriser le membre de gauche et développer le carré à droite 🔗

Grâce à la façon dont nous l’avons construit à l’Étape 4, le membre de gauche peut maintenant être parfaitement factorisé sous la forme d’un binôme au carré. Du côté droit, nous allons simplement appliquer le carré à notre fraction :

6️⃣ Étape 6 : Trouver un dénominateur commun 🔗

Pour combiner les fractions du côté droit de l’équation, nous avons besoin d’un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun pour $a$ et $4a^2$ est $4a^2$.

Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de $-c/a$ par $4a$ :

Nous pouvons maintenant les regrouper en une seule fraction. Nous allons également réorganiser le numérateur pour lui donner une apparence un peu plus familière :

7️⃣ Étape 7 : Prendre la racine carrée 🔗

Pour résoudre en $x$, nous devons nous débarrasser du carré dans le membre de gauche. Nous le faisons en prenant la racine carrée des deux membres.

Règle cruciale : Lorsque vous prenez la racine carrée des deux membres d’une équation, vous devez tenir compte à la fois de la racine positive et de la racine négative ($\pm$) du côté droit.

Nous pouvons simplifier le dénominateur puisque la racine carrée de $4a^2$ est simplement $2a$ :

8️⃣ Étape 8 : Isoler x 🔗

La dernière étape consiste à isoler complètement $x$. Nous soustrayons $b/(2a)$ des deux côtés :

Comme les deux fractions partagent déjà le même dénominateur ($2a$), nous pouvons les combiner en une expression finale unifiée :

🎯 Conclusion 🔗

Et voilà ! En complétant systématiquement le carré, nous avons démontré la formule quadratique. Cette formule vous permettra désormais de trouver $x$ dans n’importe quelle équation du second degré en remplaçant simplement $a$, $b$ et $c$ par leurs valeurs.