🧠 Max Dama sur le trading automatisé - Casse-têtes (Édition enrichie) 🔗

Voici un guide d’étude original, corrigé et enrichi, inspiré des sujets d’entretiens quantitatifs tirés des notes On Automated Trading de Max Dama. Plusieurs erreurs mathématiques présentes dans les notes originales en circulation ont été corrigées, les démonstrations manquantes ont été intégralement détaillées et chaque problème a été reformulé de manière claire et autonome.

📑 Table des Matières 🔗

📈 Tenue de marché et paris 🔗

Q : Un sac contient 100 pièces : 98 sont équilibrées (50 % Pile, 50 % Face), 1 possède deux côtés Face (HH) et 1 possède deux côtés Pile (TT). Vous tirez une pièce uniformément au hasard, vous la lancez une fois et vous observez Face. Quelle est la probabilité a posteriori que vous ayez tiré la pièce à double Face ?

Réponse : En appliquant le théorème de Bayes : Sur les 100 pièces, 98 donnent Face avec une probabilité de $0.5$, 1 donne Face avec une probabilité de $1$, et 1 donne Face avec une probabilité de $0$. Soit $H$ l’observation de Face, et $HH$ la sélection de la pièce à double Face :

Intuitivement, il y a 200 faces de pièces équiprobables dans le sac, dont exactement 100 sont des côtés Face, et 2 de ces 100 appartiennent à la pièce à double Face — ce qui donne une probabilité de $2\%$.

Q : Supposons que l’on lance 10 000 pièces équilibrées (valant 1 pour Face et 0 pour Pile). On vous propose un pari à cote égale (1 contre 1) selon lequel le nombre total de Faces est strictement inférieur à 5 000, et vous pouvez miser n’importe quel montant entier en dollars de 1 $ à 100 $. Combien devriez-vous miser ? Comment votre mise optimale change-t-elle si vous apprenez à l’avance que le nombre total de Faces est strictement inférieur à 5 100 ?

Réponse : Tout d’abord, calculons la probabilité de tomber exactement sur le point médian de 5 000 Faces :

Par symétrie de la loi binomiale, la probabilité d’obtenir strictement moins de 5 000 Faces est :

Comme votre probabilité de gain est inférieure à 50 % sur un paiement à cote égale, le pari a une espérance mathématique négative. Vous devriez miser 0 $.

Avec l’information préalable que $X < 5100$ : Comme l’écart-type est $\sigma = \sqrt{10000 \cdot 0.25} = 50$, un seuil de 5 100 se situe à $+2 \sigma$ au-dessus de la moyenne, ce qui correspond à une probabilité cumulée $P(X < 5100) \approx 97.7\%$. En conditionnant par rapport à $X < 5100$, votre probabilité actualisée de gagner le pari $X < 5000$ devient :

Vous disposez maintenant d’un avantage positif. En appliquant le critère de Kelly ($f^* = 2p - 1$ pour les paris à cote égale) :

Vous devriez miser 1,52 % de votre capital (bankroll).

(Remarque : si au contraire le pari lui-même est gagnant dès que $X < 5100$, votre probabilité de gain est de $97.7\%$, et la fraction de Kelly est de $2(0.977) - 1 = 95.4\%$ de votre capital).

Q : Vous lancez un dé équilibré à six faces de manière répétée et tenez une somme cumulée, en vous arrêtant dès que le total cumulé dépasse 63. Quelle est la probabilité que l’avant-dernier lancer ait donné une valeur spécifique $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ?

Réponse : La probabilité est uniformément de $1/6$ pour chaque valeur de 1 à 6. Comme la chaîne de Markov sur la somme cumulée atteint une distribution stationnaire quasi uniforme sur les résidus bien avant d’atteindre 63, et que l’avant-dernier lancer est effectué avant que le dernier lancer d’arrêt ne soit conditionné, chaque face reste équiprobable ($1/6$).

Q : Six enveloppes scellées contenant 2 $, 4 $, 8 $, 16 $, 32 $ et 64 $ sont disposées en ligne dans un ordre strictement trié (soit croissant, soit décroissant, avec une probabilité égale). Deux enveloppes adjacentes sont sélectionnées, mélangées et distribuées à vous et à une contrepartie. Vous ouvrez la vôtre et trouvez 16 $. Devriez-vous proposer d’échanger les enveloppes ?

Réponse : Considérons les quatre façons équiprobables pour vous de détenir l’enveloppe de 16 $ (deux par ordre croissant, deux par ordre décroissant) :

1. Paire (8 $, 16 $), ordre croissant → L’échange donne 8 $ (perte de 8 $).
2. Paire (16 $, 32 $), ordre croissant → L’échange donne 32 $ (gain de 16 $).
3. Paire (32 $, 16 $), ordre décroissant → L’échange donne 32 $ (gain de 16 $).
4. Paire (16 $, 8 $), ordre décroissant → L’échange donne 8 $ (perte de 8 $).

Dans un jeu d’échange rationnel à deux joueurs (le théorème d’antisélection / No-Trade Theorem), si la contrepartie regarde également à l’intérieur de son enveloppe avant d’accepter un échange, elle n’acceptera jamais lorsqu’elle détient 32 $ et acceptera toujours lorsqu’elle détient 8 $ ! Ainsi, un échange mutuel optionnel a une espérance mathématique négative (votre ordre n’est exécuté que lorsque la contrepartie a 8 $). Si l’échange est unilatéral (forcé sans le consentement de la contrepartie), alors, comme 16 $ est une valeur intérieure, l’échange rapporte $0.5(8) + 0.5(32) = 20 > 16$.

Q : Supposons que vous tiriez un nombre aléatoire $N$ d’une première loi de probabilité, puis que vous tiriez $N$ échantillons indépendants et identiquement distribués $X_1, X_2, \dots, X_N$ d’une seconde loi (indépendante de $N$). Comment évaluez-vous la juste valeur de leur somme ?

Réponse : D’après l’identité de Wald, lorsque $N$ est indépendant de la suite des $X_i$, l’espérance mathématique de la somme aléatoire est simplement le produit des deux espérances :

Q : Déterminez la fraction optimale de votre capital (selon l’utilité logarithmique) à miser sur un lancer de pièce équilibrée qui rapporte $+x$ sur Face et fait perdre $-y$ sur Pile ($x > y > 0$).

Réponse : En utilisant le critère de Kelly où la cote nette de paiement par unité risquée est $b = x/y$ et la probabilité de gain est $p = 0.5$ :

Notez que cette fraction est mise à l’échelle par rapport à une perte de $y$ ; la fraction du capital total exposée à la perte en cas de résultat Pile est de $(x - y) / (2x)$.

Q : En quoi votre approche de recherche et de gestion des risques diffère-t-elle entre un modèle de trading quantitatif à 25 facteurs et un modèle à 100 facteurs ? Si le modèle à 100 facteurs affiche une performance supérieure de 25 % en backtest, comment évalueriez-vous l’opportunité de le déployer ?

Réponse : Passer de 25 facteurs à 100 facteurs augmente considérablement les degrés de liberté et le risque de surapprentissage sur l’échantillon (in-sample overfitting) (le fléau de la dimension). Une amélioration de 25 % du rendement ou du ratio de Sharpe en backtest avec 4 fois plus de variables s’explique facilement par l’ajustement au bruit historique plutôt que par un véritable signal hors échantillon. Pour l’évaluer rigoureusement :

1. Colinéarité et réduction de dimensionnalité (ACP / PCA) : Inspectez la matrice de corrélation des facteurs et le spectre des valeurs propres pour voir combien de dimensions orthogonales de risque/alpha ces 75 facteurs supplémentaires couvrent réellement.
2. Régularisation et critères d’information : Appliquez une régularisation $L_1$ (Lasso) / Elastic Net et comparez les métriques de sélection de modèles pénalisés (AIC, BIC ou log-vraisemblance par validation croisée) pour voir si les paramètres ajoutés justifient leur pénalité de complexité.
3. Validation stricte hors échantillon (Out-of-Sample) et Walk-Forward : Testez la dégradation des performances sur une période de réserve intacte et mesurez la rotation du portefeuille (turnover) ainsi que le frein lié aux coûts de transaction.

Q : Un actif commence au prix $p$, augmente de $x\%$, puis baisse de $x\%$ (avec $x > 0$). Comment le prix final se compare-t-il à $p$ ?

Réponse : Il est strictement inférieur à $p$ (phénomène connu sous le nom d’érosion par la volatilité ou volatility drag). En effet, la baisse en pourcentage s’applique à une base après hausse plus élevée $p(1+x)$ :

Q : En partant d’un capital de 100 $, on vous propose 100 paris séquentiels sur une pièce biaisée qui tombe sur Face avec une probabilité de 90 %. Miser $x$ dollars fait perdre $x$ sur Pile et rapporte $2x$ sur Face. Quelle fraction de votre capital devriez-vous miser à chaque lancer ?

Réponse : La fraction optimale dépend de la question de savoir si « rapporte $2x$ » signifie un profit net de $2x$ (cote de 2 contre 1, $b = 2$) ou un paiement brut de $2x$ (profit net de $x$, cote de 1 contre 1, $b = 1$) :

• Cas 1 (Profit net $+2x$, $b = 2$) : $$f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} = \frac{0.9(3) - 1}{2} = 85\%$$
• Cas 2 (Paiement brut $2x$, profit net $+x$, $b = 1$) : $$f^* = 2p - 1 = 2(0.9) - 1 = 80\%$$

Q : Établissez un marché bilatéral (Bid/Ask) sur le nombre total de plaques d’égout dans la ville de New York.

Réponse : Nous construisons une estimation de Fermi à partir du kilométrage routier : La ville de New York compte environ 8,5 millions d’habitants et environ 6 000 miles (env. 9 650 km) de rues pavées. Les plaques d’accès aux réseaux (égouts, eau, électricité, télécoms) apparaissent environ tous les 100 pieds le long des rues de la ville, ce qui équivaut à environ $5,280 / 100 \approx 52$ plaques par mile : $6{,}000\text{ miles} \times 52\text{ covers/mile} \approx 312{,}000\text{ covers}$. En tenant compte de la variance d’estimation, un marché initial raisonnable est 200 000 à l’achat (Bid) / 450 000 à la vente (Ask).

🎲 Probabilités 🔗

Q : Estimez la probabilité d’obtenir exactement 500 Faces en 1 000 lancers d’une pièce équilibrée avec une précision de 5 % en utilisant le calcul mental.

Réponse : Appliquez la formule de Stirling, $n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$ :

Comme $500 \pi \approx 1570$ et $40^2 = 1600$, $\sqrt{1570} \approx 39.6 \approx 40$. Ainsi $P \approx 1/40 = 2.5\%$ (la valeur exacte est $2.523\%$).

Q : Pour réussir un défi de tennis en trois matchs contre deux adversaires — un joueur plus fort A et un joueur plus faible B — vous devez gagner deux matchs consécutifs. Devriez-vous choisir le calendrier A-B-A ou B-A-B ?

Réponse : Soient $P_a$ et $P_b$ vos probabilités de victoire sur un match unique contre A et B, où $P_a < P_b$. Pour gagner deux matchs d’affilée sur trois, vous devez gagner le match du milieu (Match 2) et au moins l’un des matchs extérieurs (Match 1 ou Match 3) :

• Selon A-B-A : $P(\text{Win}) = P_b \cdot (1 - (1-P_a)^2) = P_b (2P_a - P_a^2) = 2 P_a P_b - P_a^2 P_b$
• Selon B-A-B : $P(\text{Win}) = P_a \cdot (1 - (1-P_b)^2) = P_a (2P_b - P_b^2) = 2 P_a P_b - P_a P_b^2$

Comme $P_a < P_b$, nous avons $P_a^2 P_b < P_a P_b^2$, ce qui rend A-B-A strictement meilleur ! (Note de correction : Bien que l’intuition suggère souvent d’affronter B lors du match du milieu, affronter l’adversaire le plus fort A lors du match obligatoire du milieu donne en réalité une probabilité totale plus faible car $2P_a P_b - P_a^2 P_b > 2P_a P_b - P_a P_b^2$. Choisir A-B-A maximise vos chances de remporter le match crucial du milieu contre l’adversaire le plus faible B !)

Q : Deux joueurs lancent à tour de rôle un dé équilibré à six faces. Le joueur 1 lance en premier et gagne immédiatement s’il obtient un 1 ; sinon, le joueur 2 lance et gagne immédiatement s’il obtient un 6 ; sinon, le tour revient au joueur 1, et ainsi de suite. Trouvez la probabilité de victoire de chaque joueur.

Réponse : Soit $E$ la probabilité de victoire du joueur 1 dès le début d’un tour :

La probabilité de victoire du joueur 2 est de $1 - 6/11 = 5/11 \approx 45.45\%$.

Q : Les cartes d’un jeu standard de 52 cartes (26 rouges, 26 noires) sont retournées une par une. À tout moment avant que le paquet ne soit épuisé, vous pouvez dire « Stop » et parier sur la couleur de la toute prochaine carte (+1 $ si elle est rouge, -1 $ si elle est noire). Quel est le juste prix pour jouer à ce jeu selon une règle d’arrêt optimal ?

Réponse : 0 $. La fraction de cartes rouges restantes dans le paquet à l’étape $t$ forme une martingale. D’après le théorème d’arrêt optionnel de Doob, pour tout temps d’arrêt borné $\tau$, la proportion espérée de cartes rouges au temps $\tau$ est égale à la proportion initiale ($26/52 = 0.5$), ce qui signifie qu’aucune stratégie de comptage de cartes ne peut atteindre un gain espéré positif.

Q : Un test de dépistage médical pour une maladie rare (prévalence de 0,5 % dans la population générale) a une sensibilité de 99 % (taux de vrais positifs) et une spécificité de 99 % (taux de vrais négatifs). Si une personne testée au hasard reçoit un résultat positif, quelle est la probabilité qu’elle soit réellement atteinte de la maladie ?

Réponse : D’après le théorème de Bayes :

Comme le taux de base ($0.5\%$) est inférieur au taux de faux positifs ($1\%$), environ deux tiers des dépistages positifs sont des faux positifs.

Q : Trois crêpes sont empilées sur une assiette : l’une est dorée des deux côtés, l’une est dorée d’un côté et pâle de l’autre, et l’une est pâle des deux côtés. Vous regardez la face supérieure d’une crêpe choisie au hasard et voyez qu’elle est dorée. Quelle est la probabilité que sa face inférieure soit également dorée ?

Réponse : Comptez les faces équiprobables plutôt que les crêpes : il y a 6 faces de crêpes au total, dont 3 sont dorées. Deux de ces 3 faces dorées appartiennent à la crêpe dorée des deux côtés, dont la face opposée est également dorée. Par conséquent, la probabilité est de $2/3 \approx 66.7\%$.

Q : En lançant de manière répétée un dé équilibré à six faces, trouvez le nombre espéré de lancers nécessaires pour observer : (a) un seul 6, (b) deux 6 consécutifs (6-6), et (c) un 6 immédiatement suivi d’un 5 (6-5).

Réponse :

• (a) Premier 6 ($E_6$) :

  $$E_6 = 1 + \frac{5}{6} E_6 \implies E_6 = 6$$

• (b) Deux 6 consécutifs 6-6 ($E_{66}$) : Soit $F$ le nombre espéré de lancers restants après avoir juste obtenu un premier 6 :

  $$E_{66} = 1 + \frac{1}{6} F + \frac{5}{6} E_{66}$$
  $$F = 1 + \frac{5}{6} E_{66}$$

  La résolution donne $E_{66} = 42$ lancers (car obtenir autre chose qu’un 6 vous ramène complètement à zéro).

• (c) Séquence 6-5 ($E_{65}$) : Soit $F_6$ le nombre espéré de lancers restants après avoir obtenu un 6 :

  $$E_{65} = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{5}{6} E_{65}$$
  $$F_6 = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{4}{6} E_{65}$$

  (Car obtenir un autre 6 vous maintient dans l’état $F_6$ au lieu de tout recommencer depuis le début !) La résolution donne $E_{65} = 36$ lancers.

Q : Vous lancez un dé équilibré à six faces et recevez un gain en dollars égal à la face finale affichée. Après le premier lancer, vous pouvez choisir de relancer jusqu’à deux fois supplémentaires (pour un maximum de 3 lancers au total), en renonçant à tout résultat précédent chaque fois que vous relancez. Quelle est la juste valeur de ce jeu ?

Réponse : Résolvons par induction à rebours :

• 1 lancer restant : Le gain espéré est $E_1 = 3.5$.
• 2 lancers restants : Gardez 4, 5 ou 6 (car ils dépassent $3.5$) et relancez 1, 2 ou 3 : $$E_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4+5+6}{3} + \frac{1}{2} \cdot (3.5) = 2.5 + 1.75 = 4.25$$
• 3 lancers restants : Gardez 5 ou 6 (car ils dépassent $4.25$) et relancez 1, 2, 3 ou 4 : $$E_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5+6}{2} + \frac{2}{3} \cdot (4.25) = 1.833 + 2.833 = 4.667$$

La juste valeur du jeu est de 4,67 $ ($14/3$ dollars).

Q : Deux joueurs lancent alternativement une pièce équilibrée, et le premier joueur qui obtient Face gagne 1 $. Combien devriez-vous être prêt à payer pour jouer en premier plutôt qu’en second ?

Réponse : Soit $E$ le gain espéré du premier joueur :

Comme le gain espéré du second joueur est de $1 - 2/3 = 1/3$, l’avantage de jouer en premier est de $2/3 - 1/3 = 1/3$, soit 0,33 $.

Q : Parmi 5 pièces — quatre pièces équilibrées et une pièce à double Face — vous en prenez une au hasard et la lancez 5 fois, en observant 5 Faces consécutives. Quelle est la probabilité que vous ayez sélectionné la pièce à double Face ?

Réponse : D’après le théorème de Bayes :

🧮 Calcul mental 🔗

Repères de calcul mental rapide :

• $7^3 = 49 \cdot 7 = (50 - 1) \cdot 7 = 350 - 7 =$ 343
• $15\%$ de $165 = 10\%(165) + 5\%(165) = 16.5 + 8.25 =$ 24,75
• $1,000,000 - 1,011 =$ 998 989
• $54\%$ de $123 = 50\%(123) + 4\%(123) = 61.5 + 4.92 =$ 66,42
• $55^2 = (50 \cdot 60) + 5^2 = 3000 + 25 =$ 3 025

🧩 Mathématiques et logique 🔗

Q : Un nageur se trouve exactement au centre d’un lac circulaire de rayon $r$, tandis qu’un prédateur sur la rive peut courir le long du périmètre à deux fois la vitesse maximale du nageur ($2v$ contre $v$). En supposant que le prédateur se déplace toujours le long de la rive vers le point le plus proche du nageur, le nageur peut-il atteindre la terre ferme avant l’arrivée du prédateur ?

Réponse : Oui. Même si le nageur nage simplement en ligne droite radiale directement à l’opposé de la position de départ du prédateur, le nageur n’a besoin de parcourir que la distance $r$ (prenant un temps $r / v$), tandis que le prédateur doit parcourir la moitié de la circonférence, soit une distance de $\pi r$ (prenant un temps $(\pi r) / (2v)$). Comme $\pi / 2 \approx 1.57 > 1$, le nageur atteint la rive bien avant le prédateur.

Q : Les aiguilles des heures et des minutes d’une horloge analogique se superposent à minuit (12h00). À quelle heure exacte se superposeront-elles la fois suivante ?

Réponse : L’aiguille des minutes balaye $360^\circ$ par heure, tandis que l’aiguille des heures balaye $30^\circ$ par heure, ce qui donne une vitesse angulaire relative de $330^\circ$ par heure. Les aiguilles se superposent à nouveau lorsque l’aiguille des minutes gagne un tour complet de $360^\circ$ sur l’aiguille des heures :

• $t = \frac{360}{330} = \frac{12}{11}\text{ hours} = 1\text{ hour and }\frac{1}{11}\text{ hour}$
• $\frac{1}{11} \times 60\text{ minutes} = 5.4545\dots\text{ minutes}$
• $0.4545\dots \times 60\text{ seconds} = 27.27\dots\text{ seconds}$

Elles se superposent à nouveau à 1h 05m 27,27s.

Q : Trois duellistes — A (précision de 100 %), B (précision de 66 %) et C (précision de 33 %) — tirent à tour de rôle dans un ordre circulaire en commençant par le tireur le plus faible C, suivi de B, puis de A, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus qu’un en vie. Quel est le premier coup optimal de C ?

Réponse : C devrait manquer intentionnellement sa cible (tirer en l’air ou dans le sol) lors du premier tour.

• Si C tire et élimine B, A (avec une précision de 100 %) est assuré d’éliminer C dès le tour suivant.
• Si C tire et élimine A, B obtient le tir suivant contre C avec 66 % de chances de l’éliminer.
• Si C passe son tour, B doit cibler A (car A représente une menace mortelle à 100 % s’il reste en vie). Quel que soit le survivant entre A et B après cet échange, C est assuré de tirer en premier lors du duel en face-à-face qui s’ensuit, ce qui maximise sa probabilité de survie.

Q : Résolvez pour un réel positif $x$ la tour de puissances infinie $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$.

Réponse : Comme la tour d’exposants infinie converge vers 2, en remplaçant la tour d’exposants au-dessus de la base $x$ par 2, on obtient :

Q : Évaluez le radical imbriqué $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$.

Réponse : Soit $x > 0$ la limite du radical imbriqué :

Comme $x > 0$, la valeur est $x = 2$.

Q : Un bâton de longueur unitaire est cassé en deux points choisis indépendamment et uniformément au hasard sur sa longueur. Quelle est la probabilité que les trois morceaux résultants puissent former un triangle ?

Réponse : 25 % ($1/4$). D’après l’inégalité triangulaire, trois segments de longueur totale 1 forment un triangle si et seulement si chaque segment a une longueur strictement inférieure à $1/2$. En représentant graphiquement les deux points de rupture uniformes $(u, v) \in [0, 1]^2$, la région valide où $\min(u,v) < 1/2$, $1 - \max(u,v) < 1/2$ et $|u - v| < 1/2$ est constituée de deux triangles d’aire $1/8$ chacun, ce qui donne une probabilité totale de $2 \cdot (1/8) = 1/4 = 25\%$.

Q : Trois points sont choisis indépendamment et uniformément au hasard sur la circonférence d’un cercle. Quelle est la probabilité que les trois points se trouvent sur un même demi-cercle ?

Réponse : 75 % ($3/4$). En général, pour $n$ points uniformes indépendants sur un cercle, chaque point définit un demi-cercle dans le sens horaire partant de ce point et de longueur $1/2$ ; la probabilité que tous les $n - 1$ autres points tombent à l’intérieur est de $(1/2)^{n-1}$. Comme ces $n$ événements sont mutuellement exclusifs (en supposant que les points ne couvrent pas tout le cercle), la probabilité totale est de $n / 2^{n-1}$. En posant $n = 3$, on obtient $3 / 4 = 75\%$.

Q : Étant donné deux cercles concentriques, une corde du cercle extérieur de longueur 8 est tangente au cercle intérieur. Quelle est l’aire de la couronne circulaire (anneau) comprise entre les deux cercles ?

Réponse : Soient $R$ et $r$ les rayons extérieur et intérieur. Le rayon $r$ tracé jusqu’au point de tangence est perpendiculaire à la corde et la coupe en deux segments égaux de longueur 4. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle résultant :

Par conséquent, l’aire de la couronne est $\pi (R^2 - r^2) =$ $16 \pi$.

Q : La tasse A contient 1 tasse de lait pur et la tasse B contient 1 tasse d’eau pure. Vous transférez 1 cuillère à café de lait de la tasse A vers la tasse B, vous mélangez soigneusement, puis vous transférez 1 cuillère à café du mélange de la tasse B vers la tasse A. La tasse A contient-elle maintenant plus d’eau que la tasse B ne contient de lait, ou inversement ?

Réponse : Les quantités sont identiques. Comme les deux tasses commencent et finissent avec exactement le même volume total de liquide (1 tasse chacune), tout volume d’eau qui se trouve maintenant dans la tasse A a nécessairement remplacé un volume identique de lait qui se trouve maintenant dans la tasse B.