💡 Las dieciséis caras de la lógica: todas las funciones booleanas posibles con dos entradas 🔗

El álgebra de Boole, llamada así en honor al matemático George Boole, es el pilar de toda la circuitería digital. Opera con variables que solo pueden tener dos estados: Verdadero (1) o Falso (0). Cuando consideramos dos variables de entrada, A y B, solo existen cuatro combinaciones posibles de entradas: (0, 0), (0, 1), (1, 0) y (1, 1).

Dado que cada una de estas cuatro combinaciones de entrada puede dar como resultado un 0 o un 1 en la salida, el número total de funciones booleanas únicas posibles es $2^4 = 16$ .

Este artículo explora estas 16 operaciones lógicas fundamentales, clasificadas según su complejidad e importancia en el diseño digital.

📑 Tabla de Contenidos 🔗

🔢 Las cuatro combinaciones de entrada 🔗

Para comprender las funciones, primero debemos definir las posibilidades de entrada.

A	B
0	0
0	1
1	0
1	1

🚀 Categorías de las 16 funciones 🔗

Las 16 funciones pueden agruparse en varias categorías según sus patrones de salida, desde las constantes más simples hasta las puertas exclusivas más complejas. Sea $F$ la salida de la función.

⚪ 1. Funciones constantes (2 funciones) 🔗

Estas funciones ignoran por completo las entradas y producen siempre la misma salida.

Nombre de la función	Expresión	A=0, B=0	A=0, B=1	A=1, B=0	A=1, B=1	Descripción
Cero (FALSE)	$F_0 = 0$	0	0	0	0	Siempre devuelve 0.
Uno (TRUE)	$F_{15} = 1$	1	1	1	1	Siempre devuelve 1.

🔄 2. Funciones simples de transferencia/inversión (4 funciones) 🔗

Estas funciones dependen únicamente de una de las entradas, ya sea de forma directa o invertida.

Nombre de la función	Expresión	A=0, B=0	A=0, B=1	A=1, B=0	A=1, B=1	Descripción
Transferir A	$F_3 = A$	0	0	1	1	La salida es simplemente A.
Transferir B	$F_5 = B$	0	1	0	1	La salida es simplemente B.
NOT A	$F_{12} = \bar{A}$	1	1	0	0	La salida es el inverso de A.
NOT B	$F_{10} = \bar{B}$	1	0	1	0	La salida es el inverso de B.

⚙️ 3. Operaciones binarias básicas (4 funciones) 🔗

Estas son las puertas lógicas principales utilizadas universalmente en los sistemas digitales.

Nombre de la función	Expresión	A=0, B=0	A=0, B=1	A=1, B=0	A=1, B=1	Puerta común
AND	$F_8 = A \cdot B$	0	0	0	1	Devuelve 1 solo si A Y B son 1.
OR	$F_{14} = A + B$	0	1	1	1	Devuelve 1 si A O B (o ambos) son 1.
NAND	$F_7 = \overline{A \cdot B}$	1	1	1	0	El NOT-AND de A y B. (Puerta universal)
NOR	$F_1 = \overline{A + B}$	1	0	0	0	El NOT-OR de A y B. (Puerta universal)

⚖️ 4. Operaciones exclusivas (2 funciones) 🔗

Estas funciones son fundamentales para los circuitos aritméticos (como los sumadores) y para comparar entradas.

Nombre de la función	Expresión	A=0, B=0	A=0, B=1	A=1, B=0	A=1, B=1	Descripción
XOR (OR exclusiva)	$F_6 = A \oplus B$	0	1	1	0	Devuelve 1 si A y B son diferentes.
XNOR (Equivalencia)	$F_9 = \overline{A \oplus B}$	1	0	0	1	Devuelve 1 si A y B son iguales.

➡️ 5. Funciones condicionales y condicionales inversas (4 funciones) 🔗

Estas funciones son menos habituales en la lógica digital general, pero desempeñan un papel en el diseño lógico avanzado y en determinados sistemas formales.

Nombre de la función	Expresión	A=0, B=0	A=0, B=1	A=1, B=0	A=1, B=1	Descripción
A implica B (Implicación material)	$F_{13} = \bar{A} + B$	1	1	0	1	Falso solo si A es 1 y B es 0.
B implica A	$F_{11} = A + \bar{B}$	1	0	1	1	Falso solo si B es 1 y A es 0.
A NO implica B	$F_4 = A \cdot \bar{B}$	0	0	1	0	Verdadero solo si A es 1 y B es 0.
B NO implica A	$F_2 = \bar{A} \cdot B$	0	1	0	0	Verdadero solo si A es 0 y B es 1.

🔑 El poder de la universalidad 🔗

El aspecto más fascinante de estas 16 funciones es que dos de ellas son capaces por sí solas de construir todas las demás: la puerta NAND y la puerta NOR.

NAND ( $F_7$ ) puede conectarse para realizar operaciones AND, OR, NOT y XOR.
NOR ( $F_1$ ) también puede conectarse para realizar operaciones AND, OR, NOT y XOR.

Gracias a esta propiedad, las puertas NAND y NOR se conocen como puertas universales. Es posible construir un ordenador entero utilizando únicamente un tipo de puerta, lo que simplifica enormemente el proceso de fabricación de circuitos integrados.

📝 Tabla resumen de las 16 funciones 🔗

Esta tabla reúne las 16 funciones según la salida correspondiente a las cuatro combinaciones de entrada.

F#	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)	Nombre de la función	Expresión	Puerta común
$F_0$	0	0	0	0	Cero	$0$	(Constante)
$F_1$	1	0	0	0	NOR	$\overline{A + B}$	NOR
$F_2$	0	1	0	0	B NO implica A	$\bar{A} \cdot B$
$F_3$	0	0	1	1	Transferir A	$A$
$F_4$	0	0	1	0	A NO implica B	$A \cdot \bar{B}$
$F_5$	0	1	0	1	Transferir B	$B$
$F_6$	0	1	1	0	XOR	$A \oplus B$	XOR
$F_7$	1	1	1	0	NAND	$\overline{A \cdot B}$	NAND
$F_8$	0	0	0	1	AND	$A \cdot B$	AND
$F_9$	1	0	0	1	XNOR	$\overline{A \oplus B}$	XNOR
$F_{10}$	1	0	1	0	NOT B	$\bar{B}$	NOT
$F_{11}$	1	0	1	1	B implica A	$A + \bar{B}$
$F_{12}$	1	1	0	0	NOT A	$\bar{A}$	NOT
$F_{13}$	1	1	0	1	A implica B	$\bar{A} + B$
$F_{14}$	0	1	1	1	OR	$A + B$	OR
$F_{15}$	1	1	1	1	Uno	$1$	(Constante)

Estas 16 funciones lógicas, derivadas de dos simples entradas binarias, conforman el vocabulario completo de todos los procesos computacionales, demostrando la increíble complejidad que puede construirse a partir de los cimientos más sencillos.

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