📐 Deducción paso a paso de la fórmula cuadrática 🔗

Si has estudiado álgebra, es muy probable que hayas memorizado la fórmula cuadrática (o fórmula general para ecuaciones de segundo grado). Pero ¿de dónde sale?

La fórmula cuadrática no es arte de magia; es el resultado de despejar $x$ en la ecuación cuadrática estándar utilizando una técnica llamada completar el cuadrado.

Aquí tienes la deducción paso a paso, explicando exactamente cómo pasamos de la forma estándar a la famosa fórmula.

📑 Tabla de Contenidos 🔗

1️⃣ Paso 1: Empezar con la forma estándar 🔗

Toda ecuación cuadrática puede escribirse en su forma estándar, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes conocidas, y $a \neq 0$:

2️⃣ Paso 2: Dividir entre a 🔗

Para utilizar el método de «completar el cuadrado» fácilmente, queremos que el coeficiente de nuestro término $x^2$ sea $1$. Logramos esto dividiendo toda la ecuación (ambos lados) entre $a$:

3️⃣ Paso 3: Mover el término constante 🔗

A continuación, aislamos los términos con $x$ en el lado izquierdo. Lo hacemos restando el término constante, $c/a$, en ambos lados de la ecuación:

4️⃣ Paso 4: Completar el cuadrado 🔗

Este es el paso más crucial. Queremos convertir el lado izquierdo de la ecuación en un «trinomio cuadrado perfecto», una expresión que pueda factorizarse en la forma $(x + k)^2$.

Para ello, tomamos exactamente la mitad del coeficiente de $x$ (que es $b/a$), lo elevamos al cuadrado y lo sumamos en ambos lados para mantener la ecuación equilibrada.

La mitad de $b/a$ es $b/(2a)$. Al elevarlo al cuadrado obtenemos $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Sumémoslo a ambos lados:

5️⃣ Paso 5: Factorizar el lado izquierdo y elevar al cuadrado el lado derecho 🔗

Gracias a cómo lo hemos construido en el Paso 4, el lado izquierdo ahora puede factorizarse perfectamente como un binomio al cuadrado. En el lado derecho, simplemente aplicaremos el cuadrado a nuestra fracción:

6️⃣ Paso 6: Hallar un denominador común 🔗

Para combinar las fracciones del lado derecho de la ecuación, necesitamos un denominador común. El mínimo común denominador de $a$ y $4a^2$ es $4a^2$.

Multiplicamos el numerador y el denominador de $-c/a$ por $4a$:

Ahora podemos combinarlas en una sola fracción. También reordenaremos el numerador para que tenga un aspecto un poco más familiar:

7️⃣ Paso 7: Extraer la raíz cuadrada 🔗

Para despejar $x$, necesitamos deshacernos del cuadrado del lado izquierdo. Lo hacemos extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados.

Regla crucial: Cuando extraes la raíz cuadrada en ambos lados de una ecuación, debes tener en cuenta tanto la raíz positiva como la negativa ($\pm$) en el lado derecho.

Podemos simplificar el denominador, ya que la raíz cuadrada de $4a^2$ es simplemente $2a$:

8️⃣ Paso 8: Despejar x 🔗

El último paso consiste en dejar la $x$ completamente sola. Restamos $b/(2a)$ en ambos lados:

Como ambas fracciones ya comparten el mismo denominador ($2a$), podemos combinarlas en una expresión final unificada:

🎯 Conclusión 🔗

¡Y ahí la tienes! Completando el cuadrado de forma sistemática, hemos deducido la fórmula cuadrática. Esta fórmula te permitirá ahora despejar $x$ en cualquier ecuación de segundo grado simplemente sustituyendo los valores de $a$, $b$ y $c$.