🧠 Max Dama sobre Trading Automatizado - Acertijos Mentales (Edición Mejorada) 🔗

Esta es una guía de estudio original, corregida y ampliada, inspirada en los temas de entrevistas cuantitativas de las notas On Automated Trading de Max Dama. Se han corregido varios errores matemáticos de los apuntes originales en circulación, se han desarrollado por completo las demostraciones que faltaban y cada problema se ha reformulado de manera clara y autocontenida.

📑 Tabla de Contenidos 🔗

📈 Creación de mercado y apuestas 🔗

P: Una bolsa contiene 100 monedas: 98 son justas (50 % cara, 50 % cruz), 1 tiene doble cara (HH) y 1 tiene doble cruz (TT). Sacas una moneda al azar de manera uniforme, la lanzas una vez y observas cara. ¿Cuál es la probabilidad a posteriori de haber sacado la moneda de doble cara?

Respuesta: Aplicando el teorema de Bayes: De las 100 monedas, 98 dan cara con probabilidad $0.5$, 1 da cara con probabilidad $1$ y 1 da cara con probabilidad $0$. Sea $H$ observar cara y $HH$ seleccionar la moneda de doble cara:

Intuitivamente, hay 200 caras de moneda igualmente probables en la bolsa, exactamente 100 de las cuales son cara, y 2 de esas 100 pertenecen a la moneda de doble cara, lo que arroja una probabilidad del $2\%$.

P: Supongamos que se lanzan 10.000 monedas justas (sumando 1 por cara y 0 por cruz). Te ofrecen una apuesta a la par (1 a 1) a que el número total de caras será estrictamente inferior a 5.000, y puedes apostar cualquier cantidad entera en dólares entre $1 y $100. ¿Cuánto deberías apostar? ¿Cómo cambia tu apuesta óptima si sabes de antemano que el número total de caras es estrictamente inferior a 5.100?

Respuesta: Primero, calculemos la probabilidad de caer exactamente en el punto medio de 5.000 caras:

Por la simetría de la distribución binomial, la probabilidad de obtener estrictamente menos de 5.000 caras es:

Como tu probabilidad de ganar es inferior al 50 % en un pago a la par, la apuesta tiene un valor esperado negativo. Deberías apostar $0.

Con la información adicional de que $X < 5100$: Dado que la desviación estándar es $\sigma = \sqrt{10000 \cdot 0.25} = 50$, un umbral de 5.100 se encuentra $+2 \sigma$ por encima de la media, lo que tiene una probabilidad acumulada de $P(X < 5100) \approx 97.7\%$. Condicionando a $X < 5100$, tu probabilidad actualizada de ganar la apuesta $X < 5000$ pasa a ser:

Ahora tienes una ventaja positiva. Aplicando el criterio de Kelly ($f^* = 2p - 1$ para apuestas a la par):

Deberías apostar el 1,52 % de tu capital (bankroll).

(Nota: Si, por el contrario, la apuesta en sí paga siempre que $X < 5100$, tu probabilidad de ganar es del $97.7\%$, y la fracción de Kelly es $2(0.977) - 1 = 95.4\%$ de tu capital).

P: Lanzas repetidamente un dado justo de seis caras y llevas la suma acumulada, deteniéndote tan pronto como el total acumulado supere 63. ¿Cuál es la probabilidad de que la penúltima tirada haya sido un valor específico $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$?

Respuesta: La probabilidad es uniformemente $1/6$ para cada valor del 1 al 6. Dado que la cadena de Márkov sobre la suma acumulada alcanza una distribución estacionaria casi uniforme sobre los residuos mucho antes de llegar a 63, y la penúltima tirada se completa antes de condicionar sobre la tirada final de parada, cada cara sigue siendo igualmente probable ($1/6$).

P: Se colocan en fila seis sobres cerrados que contienen $2, $4, $8, $16, $32 y $64 en orden estrictamente ordenado (ya sea ascendente o descendente, con igual probabilidad). Se seleccionan dos sobres adyacentes, se barajan y se reparten entre tú y una contraparte. Abres el tuyo y encuentras $16. ¿Deberías ofrecer intercambiar los sobres?

Respuesta: Considera las cuatro formas igualmente probables en que puedes tener el sobre de $16 (dos en orden ascendente y dos en orden descendente):

1. Par ($8, $16), ascendente → Intercambiar te da $8 (pierdes $8).
2. Par ($16, $32), ascendente → Intercambiar te da $32 (ganas $16).
3. Par ($32, $16), descendente → Intercambiar te da $32 (ganas $16).
4. Par ($16, $8), descendente → Intercambiar te da $8 (pierdes $8).

En un juego de negociación racional entre dos jugadores (el teorema de selección adversa / no negociación), si la contraparte también mira dentro de su sobre antes de aceptar un intercambio, ¡nunca aceptará cuando tenga $32 y siempre aceptará cuando tenga $8! Por lo tanto, un intercambio mutuo opcional tiene un valor esperado negativo (solo te aceptan la orden cuando la contraparte tiene $8). Si el intercambio es unilateral (forzado sin el consentimiento de la contraparte), dado que $16 es un valor interior, intercambiar arroja $0.5(8) + 0.5(32) = 20 > 16$.

P: Supongamos que extraes un número aleatorio $N$ de una distribución de probabilidad y luego extraes $N$ muestras independientes e idénticamente distribuidas $X_1, X_2, \dots, X_N$ de una segunda distribución (independiente de $N$). ¿Cómo calculas el valor justo de su suma?

Respuesta: Por la identidad de Wald, cuando $N$ es independiente de la secuencia $X_i$, el valor esperado de la suma aleatoria es simplemente el producto de las dos esperanzas matemáticas:

P: Deduce la fracción óptima de utilidad logarítmica de tu capital para apostar en el lanzamiento de una moneda justa que paga $+x$ si sale cara y pierde $-y$ si sale cruz ($x > y > 0$).

Respuesta: Usando el criterio de Kelly, donde las cuotas de pago neto por unidad arriesgada son $b = x/y$ y la probabilidad de ganar es $p = 0.5$:

Observa que esta fracción está escalada en relación con una pérdida de $y$; la fracción del capital total expuesta a pérdidas si sale cruz es $(x - y) / (2x)$.

P: ¿En qué se diferencia tu enfoque de investigación y gestión de riesgos entre un modelo de trading cuantitativo de 25 factores y un modelo de 100 factores? Si el modelo de 100 factores muestra un rendimiento un 25 % superior en el backtest, ¿cómo evaluarías si debes implementarlo en producción?

Respuesta: Pasar de 25 a 100 factores aumenta drásticamente los grados de libertad y el riesgo de sobreajuste dentro de la muestra (in-sample overfitting) (la maldición de la dimensionalidad). Una mejora del 25 % en la rentabilidad del backtest o en el ratio de Sharpe con 4 veces más variables se explica fácilmente por el ajuste al ruido histórico en lugar de una señal genuina fuera de la muestra. Para evaluarlo con rigor:

1. Colinealidad y reducción de dimensionalidad (PCA): Inspeccionar la matriz de correlación de factores y el espectro de valores propios (eigenvalues) para ver cuántas dimensiones ortogonales de riesgo/alfa abarcan realmente esos 75 factores adicionales.
2. Regularización y criterios de información: Aplicar regularización $L_1$ (Lasso) / Elastic Net y comparar métricas de selección de modelos penalizadas (AIC, BIC o verosimilitud logarítmica con validación cruzada) para comprobar si los parámetros añadidos justifican su penalización por complejidad.
3. Validación estricta fuera de la muestra (out-of-sample) y walk-forward: Probar la degradación del rendimiento en un período de reserva intacto (holdout) y medir la rotación de cartera (turnover) y el lastre de los costes de transacción.

P: Un activo comienza a un precio $p$, sube un $x\%$ y posteriormente cae un $x\%$ (con $x > 0$). ¿Cómo se compara el precio final con $p$?

Respuesta: Es estrictamente menor que $p$ (lo que se conoce como lastre por volatilidad o volatility drag). Dado que la caída porcentual se aplica sobre la base mayor posterior a la subida, $p(1+x)$:

P: Comenzando con un capital de $100, se te ofrecen 100 apuestas secuenciales sobre una moneda sesgada que cae en cara con un 90 % de probabilidad. Apostar $x$ dólares pierde $x$ si sale cruz y devuelve $2x$ si sale cara. ¿Qué fracción de tu capital deberías apostar en cada lanzamiento?

Respuesta: La fracción óptima depende de si «devuelve $2x$» significa un beneficio neto de $2x$ (cuota 2 a 1, $b = 2$) o un pago bruto de $2x$ (beneficio neto $x$, cuota 1 a 1, $b = 1$):

• Caso 1 (Beneficio neto $+2x$, $b = 2$): $$f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} = \frac{0.9(3) - 1}{2} = 85\%$$
• Caso 2 (Pago bruto $2x$, beneficio neto $+x$, $b = 1$): $$f^* = 2p - 1 = 2(0.9) - 1 = 80\%$$

P: Crea un mercado de dos puntas (Compra/Venta o Bid/Ask) sobre el número total de tapas de alcantarilla en la ciudad de Nueva York.

Respuesta: Construimos una estimación de Fermi a partir del kilometraje de las calles: La ciudad de Nueva York tiene aproximadamente 8,5 millones de habitantes y unas 6.000 millas de calles pavimentadas. Las tapas de registro de servicios públicos (alcantarillado, agua, electricidad, telecomunicaciones) aparecen aproximadamente cada 100 pies a lo largo de las calles de la ciudad, lo que equivale a unas $5,280 / 100 \approx 52$ tapas por milla: $6{,}000\text{ millas} \times 52\text{ tapas/milla} \approx 312{,}000\text{ tapas}$. Teniendo en cuenta la varianza de la estimación, un mercado inicial razonable es 200.000 Bid / 450.000 Ask.

🎲 Probabilidad 🔗

P: Estima la probabilidad de obtener exactamente 500 caras en 1.000 lanzamientos de una moneda justa con un margen de precisión del 5 % usando cálculo mental.

Respuesta: Aplicamos la aproximación de Stirling, $n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$:

Como $500 \pi \approx 1570$ y $40^2 = 1600$, tenemos que $\sqrt{1570} \approx 39.6 \approx 40$. Por lo tanto, $P \approx 1/40 = 2.5\%$ (el valor exacto es $2.523\%$).

P: Para superar un desafío de tenis de tres partidos contra dos oponentes —un jugador más fuerte A y un jugador más débil B— debes ganar dos partidos consecutivos. ¿Deberías elegir el calendario A-B-A o B-A-B?

Respuesta: Sean $P_a$ y $P_b$ tus probabilidades de ganar un partido individual contra A y B, donde $P_a < P_b$. Para ganar dos partidos seguidos de tres, debes ganar el partido central (Partido 2) y al menos uno de los partidos extremos (Partido 1 o Partido 3):

• Bajo A-B-A: $P(\text{Ganar}) = P_b \cdot (1 - (1-P_a)^2) = P_b (2P_a - P_a^2) = 2 P_a P_b - P_a^2 P_b$
• Bajo B-A-B: $P(\text{Ganar}) = P_a \cdot (1 - (1-P_b)^2) = P_a (2P_b - P_b^2) = 2 P_a P_b - P_a P_b^2$

Como $P_a < P_b$, tenemos que $P_a^2 P_b < P_a P_b^2$, ¡lo que hace que A-B-A sea estrictamente mejor! (Nota aclaratoria: Aunque la intuición suele sugerir enfrentarse a B en el partido central, jugar contra el oponente más fuerte A en el partido central obligatorio en realidad arroja una probabilidad total menor porque $2P_a P_b - P_a^2 P_b > 2P_a P_b - P_a P_b^2$. ¡Enfrentarse a A-B-A maximiza tus posibilidades de ganar el crucial partido central contra el oponente más débil B!).

P: Dos jugadores se turnan para lanzar un dado justo de seis caras. El Jugador 1 tira primero y gana inmediatamente si saca un 1; de lo contrario, el Jugador 2 tira y gana inmediatamente si saca un 6; de no ser así, el turno vuelve al Jugador 1, y así sucesivamente. Halla la probabilidad de ganar de cada jugador.

Respuesta: Sea $E$ la probabilidad de ganar del Jugador 1 desde el inicio de una ronda:

La probabilidad de ganar del Jugador 2 es $1 - 6/11 = 5/11 \approx 45.45\%$.

P: Se van volteando de una en una las cartas de una baraja estándar de 52 cartas (26 rojas y 26 negras). En cualquier momento antes de que se acabe la baraja, puedes decir «Basta» y apostar al color de la siguiente carta (+$1 si es roja, -$1 si es negra). ¿Cuál es el precio justo por jugar a este juego bajo una regla de parada óptima?

Respuesta: $0. La fracción de cartas rojas que quedan en la baraja en el paso $t$ forma una martingala. Por el teorema de parada opcional de Doob, para cualquier tiempo de parada acotado $\tau$, la proporción esperada de cartas rojas en el momento $\tau$ es igual a la proporción inicial ($26/52 = 0.5$), lo que significa que ninguna estrategia de conteo de cartas puede lograr un pago esperado positivo.

P: Una prueba de detección médica para una afección poco frecuente (prevalencia del 0,5 % en la población general) tiene una sensibilidad del 99 % (tasa de verdaderos positivos) y una especificidad del 99 % (tasa de verdaderos negativos). Si una persona seleccionada al azar recibe un resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca la afección?

Respuesta: Por el teorema de Bayes:

Como la tasa base ($0.5\%$) es menor que la tasa de falsos positivos ($1\%$), aproximadamente dos tercios de los resultados positivos son falsos positivos.

P: Tres tortitas están apiladas en un plato: una está dorada por ambos lados, otra está dorada por un lado y pálida por el otro, y la tercera está pálida por ambos lados. Miras la cara superior de una tortita elegida al azar y ves que está dorada. ¿Cuál es la probabilidad de que su cara inferior también esté dorada?

Respuesta: Cuenta las caras igualmente probables en lugar de las tortitas: hay 6 caras de tortita en total, 3 de las cuales están doradas. Dos de esas 3 caras doradas pertenecen a la tortita dorada por ambos lados, cuya cara opuesta también está dorada. Por lo tanto, la probabilidad es $2/3 \approx 66.7\%$.

P: Lanzando repetidamente un dado justo de seis caras, halla el número esperado de tiradas necesarias para observar: (a) un solo 6, (b) dos 6 consecutivos (6-6) y (c) un 6 seguido inmediatamente de un 5 (6-5).

Respuesta:

• (a) Primer 6 ($E_6$):

  $$E_6 = 1 + \frac{5}{6} E_6 \implies E_6 = 6$$

• (b) 6-6 consecutivos ($E_{66}$): Sea $F$ el número esperado de tiradas restantes justo después de haber sacado un solo 6:

  $$E_{66} = 1 + \frac{1}{6} F + \frac{5}{6} E_{66}$$
  $$F = 1 + \frac{5}{6} E_{66}$$

  Al resolver el sistema se obtiene $E_{66} = 42$ tiradas (porque sacar cualquier número distinto de 6 reinicia el progreso por completo).

• (c) Secuencia 6-5 ($E_{65}$): Sea $F_6$ el número esperado de tiradas restantes después de sacar un 6:

  $$E_{65} = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{5}{6} E_{65}$$
  $$F_6 = 1 + \frac{1}{6} F_6 + \frac{4}{6} E_{65}$$

  (¡Porque sacar otro 6 te mantiene en el estado $F_6$ en lugar de reiniciar desde cero!) Al resolver el sistema se obtiene $E_{65} = 36$ tiradas.

P: Lanzas un dado justo de seis caras y recibes un pago en dólares igual a la cara final mostrada. Tras la tirada inicial, puedes optar por volver a tirar hasta dos veces más (para un máximo de 3 tiradas en total), renunciando a cualquier resultado anterior cada vez que vuelves a tirar. ¿Cuál es el valor justo de este juego?

Respuesta: Resolvemos por inducción hacia atrás:

• Queda 1 tirada: El pago esperado es $E_1 = 3.5$.
• Quedan 2 tiradas: Te quedas con 4, 5 o 6 (ya que superan $3.5$) y vuelves a tirar con 1, 2 o 3: $$E_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4+5+6}{3} + \frac{1}{2} \cdot (3.5) = 2.5 + 1.75 = 4.25$$
• Quedan 3 tiradas: Te quedas con 5 o 6 (ya que superan $4.25$) y vuelves a tirar con 1, 2, 3 o 4: $$E_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{5+6}{2} + \frac{2}{3} \cdot (4.25) = 1.833 + 2.833 = 4.667$$

El valor justo del juego es $4,67 ($14/3$ dólares).

P: Dos jugadores se turnan para lanzar una moneda justa, y el primer jugador que saque cara gana $1. ¿Cuánto deberías estar dispuesto a pagar por tirar primero en lugar de segundo?

Respuesta: Sea $E$ el pago esperado del primer jugador:

Dado que el pago esperado del segundo jugador es $1 - 2/3 = 1/3$, la ventaja de tirar primero es $2/3 - 1/3 = 1/3$, es decir, $0,33.

P: De entre 5 monedas —cuatro monedas justas y una de doble cara— eliges una al azar y la lanzas 5 veces, observando 5 caras consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de haber seleccionado la moneda de doble cara?

Respuesta: Por el teorema de Bayes:

🧮 Cálculo mental 🔗

Referencias de cálculo mental rápido:

• $7^3 = 49 \cdot 7 = (50 - 1) \cdot 7 = 350 - 7 =$ 343
• $15\%$ de $165 = 10\%(165) + 5\%(165) = 16.5 + 8.25 =$ 24,75
• $1,000,000 - 1,011 =$ 998.989
• $54\%$ de $123 = 50\%(123) + 4\%(123) = 61.5 + 4.92 =$ 66,42
• $55^2 = (50 \cdot 60) + 5^2 = 3000 + 25 =$ 3.025

🧩 Matemáticas y lógica 🔗

P: Un nadador se encuentra en el centro exacto de un lago circular de radio $r$, mientras que un depredador en la orilla puede correr a lo largo del perímetro al doble de la velocidad máxima de nado del nadador ($2v$ frente a $v$). Suponiendo que el depredador se mueve siempre por la orilla hacia el punto más cercano al nadador, ¿puede el nadador llegar a tierra firme antes de que llegue el depredador?

Respuesta: Sí. Incluso si el nadador simplemente nada en línea recta radial directamente en dirección opuesta a la posición inicial del depredador, el nadador solo necesita recorrer la distancia $r$ (tardando un tiempo $r / v$), mientras que el depredador debe correr la mitad de la circunferencia, una distancia de $\pi r$ (tardando un tiempo $(\pi r) / (2v)$). Como $\pi / 2 \approx 1.57 > 1$, el nadador llega a la orilla con bastante ventaja sobre el depredador.

P: Las agujas de las horas y de los minutos de un reloj analógico se superponen a las 12:00 de la medianoche. ¿A qué hora exacta vuelven a superponerse?

Respuesta: El minutero recorre $360^\circ$ por hora, mientras que el horario recorre $30^\circ$ por hora, lo que da una velocidad angular relativa de $330^\circ$ por hora. Las agujas vuelven a superponerse cuando el minutero le saca una vuelta completa de $360^\circ$ al horario:

• $t = \frac{360}{330} = \frac{12}{11}\text{ horas} = 1\text{ hora y }\frac{1}{11}\text{ de hora}$
• $\frac{1}{11} \times 60\text{ minutos} = 5.4545\dots\text{ minutos}$
• $0.4545\dots \times 60\text{ segundos} = 27.27\dots\text{ segundos}$

Vuelven a superponerse a la 1:05:27,27 AM.

P: Tres duelistas —A (100 % de precisión), B (66 % de precisión) y C (33 % de precisión)— disparan por turnos en orden circular comenzando por el tirador más débil, C, seguido de B y luego A, hasta que solo sobreviva uno. ¿Cuál es el primer movimiento óptimo de C?

Respuesta: C debe fallar intencionadamente (disparar al suelo o al aire) en el primer turno.

• Si C dispara y elimina a B, A (con un 100 % de precisión) eliminará con total seguridad a C en el siguiente turno.
• Si C dispara y elimina a A, B tendrá el siguiente disparo contra C con un 66 % de probabilidad de eliminarlo.
• Si C pasa su turno fallando adrede, B debe apuntar a A (ya que A es una amenaza 100 % letal si queda con vida). Cualquiera de los dos (A o B) que sobreviva a ese intercambio se enfrentará a C en un duelo 1 contra 1 en el que C tendrá garantizado el primer disparo, maximizando así su probabilidad de supervivencia.

P: Resuelve para $x$ real positivo en la torre de potencias infinita $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$.

Respuesta: Dado que la torre infinita de exponentes converge a 2, al sustituir por 2 la torre de exponentes situada sobre la base $x$ se obtiene:

P: Evalúa el radical anidado $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$.

Respuesta: Sea $x > 0$ el límite del radical anidado:

Como $x > 0$, el valor es $x = 2$.

P: Un palo de longitud unitaria se rompe en dos puntos elegidos de forma independiente y uniformemente al azar a lo largo de su longitud. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres trozos resultantes puedan formar un triángulo?

Respuesta: 25 % ($1/4$). Por la desigualdad triangular, tres segmentos de longitud total 1 forman un triángulo si y solo si cada segmento tiene una longitud estrictamente menor que $1/2$. Al representar gráficamente los dos puntos de corte uniformes $(u, v) \in [0, 1]^2$, la región válida donde $\min(u,v) < 1/2$, $1 - \max(u,v) < 1/2$ y $|u - v| < 1/2$ consta de dos triángulos de área $1/8$ cada uno, lo que da una probabilidad total de $2 \cdot (1/8) = 1/4 = 25\%$.

P: Se eligen tres puntos de forma independiente y uniformemente al azar sobre la circunferencia de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres se encuentren en algún semicírculo común?

Respuesta: 75 % ($3/4$). En general, para $n$ puntos uniformes independientes en un círculo, cada punto define un semicírculo en sentido horario que comienza en dicho punto y tiene longitud $1/2$; la probabilidad de que todos los demás $n - 1$ puntos caigan dentro de él es $(1/2)^{n-1}$. Como estos $n$ sucesos son mutuamente excluyentes (suponiendo que los puntos no abarquen todo el círculo), la probabilidad total es $n / 2^{n-1}$. Al fijar $n = 3$ se obtiene $3 / 4 = 75\%$.

P: Dados dos círculos concéntricos, una cuerda del círculo exterior de longitud 8 es tangente al círculo interior. ¿Cuál es el área de la corona circular (anillo) entre los dos círculos?

Respuesta: Sean $R$ y $r$ los radios exterior e interior. El radio $r$ trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la cuerda y la biseca en dos segmentos de longitud 4. Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resultante:

Por lo tanto, el área de la corona circular es $\pi (R^2 - r^2) =$ $16 \pi$.

P: La taza A contiene 1 taza de leche pura y la taza B contiene 1 taza de agua pura. Transfieres 1 cucharadita de leche de la taza A a la taza B, remueves bien y luego transfieres 1 cucharadita de la mezcla de la taza B de vuelta a la taza A. ¿Contiene ahora la taza A más agua que leche contiene la taza B, o viceversa?

Respuesta: Contienen exactamente la misma cantidad. Dado que ambas tazas empiezan y terminan exactamente con el mismo volumen total de líquido (1 taza cada una), cualquier volumen de agua que se encuentre ahora en la taza A debe haber desplazado un volumen idéntico de leche que ahora se encuentra en la taza B.