📐 Schritt-für-Schritt-Herleitung der Mitternachtsformel 🔗

Wenn Sie sich schon einmal mit Algebra beschäftigt haben, kennen Sie die quadratische Lösungsformel (im Deutschen meist Mitternachtsformel genannt) wahrscheinlich auswendig. Aber woher kommt sie eigentlich?

Die Mitternachtsformel ist keine Zauberei; sie ist das Ergebnis der Auflösung der allgemeinen quadratischen Gleichung nach $x$ mithilfe einer Technik namens quadratische Ergänzung.

Hier ist die Schritt-für-Schritt-Herleitung, die genau zeigt, wie wir von der allgemeinen Form zur berühmten Formel gelangen.

📑 Inhaltsverzeichnis 🔗

1️⃣ Schritt 1: Mit der allgemeinen Form beginnen 🔗

Jede quadratische Gleichung lässt sich in der allgemeinen Form schreiben, wobei $a$, $b$ und $c$ bekannte Konstanten sind und $a \neq 0$ gilt:

2️⃣ Schritt 2: Durch a teilen 🔗

Um die Methode der quadratischen Ergänzung einfach anwenden zu können, soll der Koeffizient vor unserem $x^2$-Term gleich $1$ sein. Das erreichen wir, indem wir die gesamte Gleichung (beide Seiten) durch $a$ teilen:

3️⃣ Schritt 3: Den konstanten Term auf die andere Seite bringen 🔗

Als Nächstes isolieren wir die Terme mit $x$ auf der linken Seite. Dazu subtrahieren wir den konstanten Term $c/a$ auf beiden Seiten der Gleichung:

4️⃣ Schritt 4: Quadratische Ergänzung durchführen 🔗

Dies ist der entscheidende Schritt. Wir wollen die linke Seite der Gleichung in ein „vollständiges Quadrat“ verwandeln – also in einen Ausdruck, der sich mithilfe der ersten binomischen Formel in die Form $(x + k)^2$ faktorisieren lässt.

Dazu nehmen wir genau die Hälfte des Koeffizienten vor $x$ (also die Hälfte von $b/a$), quadrieren diesen Wert und addieren ihn auf beiden Seiten, damit die Gleichung im Gleichgewicht bleibt.

Die Hälfte von $b/a$ ist $b/(2a)$. Quadriert ergibt das $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Addieren wir diesen Term auf beiden Seiten:

5️⃣ Schritt 5: Die linke Seite faktorisieren und die rechte Seite quadrieren 🔗

Dank unserer Konstruktion in Schritt 4 lässt sich die linke Seite nun perfekt als quadrierte Binomform schreiben. Auf der rechten Seite wenden wir einfach das Quadrat auf unseren Bruch an:

6️⃣ Schritt 6: Einen gemeinsamen Nenner finden 🔗

Um die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung zusammenzufassen, benötigen wir einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner von $a$ und $4a^2$ ist $4a^2$.

Wir erweitern Zähler und Nenner von $-c/a$ mit $4a$:

Nun können wir beide Brüche zu einem einzigen Bruch zusammenfassen. Dabei stellen wir auch den Zähler um, sodass er bereits die vertraute Form annimmt:

7️⃣ Schritt 7: Die Quadratwurzel ziehen 🔗

Um nach $x$ aufzulösen, müssen wir das Quadrat auf der linken Seite beseitigen. Dazu ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel.

Wichtige Regel: Wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung die Quadratwurzel zieht, muss man auf der rechten Seite sowohl die positive als auch die negative Wurzel ($\pm$) berücksichtigen.

Wir können den Nenner vereinfachen, da die Quadratwurzel aus $4a^2$ einfach $2a$ ist:

8️⃣ Schritt 8: x isolieren 🔗

Im letzten Schritt stellen wir $x$ komplett frei. Wir subtrahieren $b/(2a)$ auf beiden Seiten:

Da beide Brüche bereits denselben Nenner ($2a$) haben, können wir sie zu einem abschließenden, einheitlichen Ausdruck zusammenfassen:

🎯 Fazit 🔗

Und da haben wir sie! Durch systematisches quadratisches Ergänzen haben wir die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) hergeleitet. Mit dieser Formel können Sie nun jede beliebige quadratische Gleichung nach $x$ auflösen, indem Sie einfach die Werte für $a$, $b$ und $c$ einsetzen.